Réponse:
1) Suite de Versements :
a) Pour exprimer Vn+1 en fonction de Vn, nous utilisons les conditions données :
Le premier versement mensuel est de 140 €, donc v₁ = 140.Chaque mois, le versement augmente de 3%, ce qui signifie que le versement du mois suivant est égal au versement actuel multiplié par 1.03.
Ainsi, on a : Vn+1 = Vn * 1.03
Il s’agit d’une suite géométrique car chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un même nombre (dans ce cas, 1.03).
b) Pour exprimer Vn en fonction de n, on peut utiliser la formule générale pour une suite géométrique : Vn = v₁ * r^(n-1)
Dans notre cas, v₁ = 140 et r = 1.03 (car le versement augmente de 3% chaque mois), donc : Vn = 140 * 1.03^(n-1)
2) Calcul du Montant Total de l’Épargne :
Pour calculer le montant total de l’épargne après les 36 versements, il suffit d’additionner tous les versements effectués sur les 36 mois : Montant total = v₁ + v₂ + … + v₃₆
En utilisant la formule trouvée précédemment pour Vn en fonction de n, on peut écrire : Montant total = v₁ + v₁ r + v₁ r^2 + … + v₁ * r^35 Montant total = v₁(1 + r + r^2 + … + r^35)
En utilisant la formule de la somme des termes d’une suite géométrique finie, on obtient : Montant total = v₁ * (r^(36) - 1) / (r - 1)
En remplaçant les valeurs connues, on trouve : Montant total = 140 * (1.03^36 - 1) / (0.03)
Réponse : Le montant total de l’épargne après les 36 versements sera d’environ €6134.
