Dans cette exercice, on suppose que l’on dispose de deux urnes u1 et u2. L’urne u1 contient 4 boules rouges tandis que l’urne u2 contient deux boules rouges et deux boules blanches.
On commence par lancer une pièce non truquée. Si l’on obtient « pile », on choisit de faire une succession de tirage dans l’urne u1. Dans le cas contraire, on choisit de faire les tirages dans l’urne u2.
On note également F l’événement « la pièce amène face ». L’évènement « la pièce amène pile » est donc F barre. On définit également pour k strictement supérieur ou égal à 1 l’évènement R petit k : « le k-eme tirage dans l’urne choisie amène une boule rouge »
1) On lance la pièce, on choisit l’urne puis on effectue le tirage. Montrer en utilisant la formule des probabilités totales que la probabilité de tirer une boule rouge est 3/4
2) On lance une pièce, on choisit l’urne puis on effectue deux tirages sans remise. C’est à dire que la boule tirée lors du 1er tirage n’est pas remise dans l’urne avant de procéder au deuxième tirage dans la même urne.
2)a) Calculer la probabilité de P de F (R1 inter R2) et P de F barre (R1 inter R2). En déduire que la probabilité que le tirage amène deux boules rouges de suite est 7/12
2)b) On remarque à posteriori que les deux boules tirées sont rouges. Quelle est la probabilité que la pièce ait amené pile ?
3) On lance la pièce, on choisit l’urne puis on décide de faire des tirages sans remise dans l’urne choisie jusqu’à ce que l’on soit en mesure de déterminer avec certitude dans quel urne l’on se trouve. On note Y la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
3)a) Justifier que l’ensemble Y(oméga) des valeurs prises par Y est égale à [| 1;3 |]
3)b) Expliquer pourquoi (Y=1)= F inter B1. En déduire la probabilité P(Y=1)
3)c) Calculer P(Y=2)
3)d) Justifier que la probabilité P(Y=4) = 0. Déduire alors des questions précédentes que la probabilité P(Y=3)=7/12
3)e) Calculer l’espérance E(Y)