Pour résoudre cet exercice, nous pouvons utiliser les propriétés des triangles et des droites parallèles.
Les droites ((AB)) et ((CD)) sont parallèles, ce qui signifie que les triangles (OAB) et (OCD) sont semblables par l’angle commun (\angle AOB = \angle COD) et les angles alternes internes égaux. Nous allons utiliser les rapports de proportionnalité des triangles semblables.
Les données sont :
OC = 8 \, \text{cm}
OD = 6 \, \text{cm}
OA = 10 \, \text{cm}
Nous devons calculer ( BD ) et ( OB ).
1. Calcul de ( BD ) :
Puisque ((AB)) et ((CD)) sont parallèles, les triangles (OAB) et (OCD) sont semblables. Les rapports de similitude entre les triangles sont égaux, donc :
\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}
Nous connaissons (OA), (OC) et (OD). Nous pouvons utiliser la relation de proportionnalité pour trouver ( OB ) et ensuite ( BD ).
\frac{OA}{OC} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}
\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}
\frac{10}{8} = \frac{OB}{6}
En résolvant pour ( OB ) :
OB = 6 \times \frac{10}{8} = 6 \times \frac{5}{4} = 7.5 \, \text{cm}
2. Calcul de ( BD ) :
Puisque ((AB)) et ((CD)) sont parallèles et les triangles sont semblables, BD est proportionnel à la différence des longueurs proportionnelles sur les côtés parallèles.
Nous connaissons OA = 10 \, \text{cm} et OD = 6 \, \text{cm} . Nous savons aussi que :
BD = OB - OD
BD = 7.5 \, \text{cm} - 6 \, \text{cm} = 1.5 \, \text{cm}
Donc, les longueurs recherchées sont :
OB = 7.5 \, \text{cm}
BD = 1.5 \, \text{cm}
