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1) a) Pour calculer B'(x), nous devons dériver la fonction B(x). Appliquons la règle de dérivation pour chaque terme de B(x) :
B'(x) = (-3x^2 + 120x - 525)
b) Pour montrer que B'(x) = -3(x - 5)(x - 35), nous pouvons factoriser B'(x) en utilisant la méthode de factorisation par identification :
B'(x) = -3(x^2 - 40x + 175)
= -3(x - 5)(x - 35)
2) a) Pour étudier le signe de B'(x) sur l'intervalle [0 ; 45], nous devons trouver les valeurs de x pour lesquelles B'(x) = 0. En résolvant l'équation -3(x - 5)(x - 35) = 0, nous trouvons deux solutions : x = 5 et x = 35. Ces valeurs divisent l'intervalle [0 ; 45] en trois parties.
Sur l'intervalle [0 ; 5], B'(x) est négatif.
Sur l'intervalle ]5 ; 35[, B'(x) est positif.
Sur l'intervalle ]35 ; 45], B'(x) est négatif.
b) Pour dresser le tableau de variation de B sur [0 ; 45], nous devons étudier le signe de B'(x) et les valeurs de B(x) aux points critiques. En utilisant les informations de l'étape précédente, nous pouvons construire le tableau de variation.
3) Pour trouver la quantité de truffes qui maximise le bénéfice du producteur, nous devons trouver le maximum de la fonction B(x) sur l'intervalle [0 ; 45]. Nous pouvons le faire en identifiant les points critiques et en évaluant B(x) aux extrémités de l'intervalle.
En utilisant le tableau de variation de B, nous pouvons voir que le bénéfice du producteur est maximal lorsque x = 35 kg. Le bénéfice
1) a) Pour calculer B'(x), nous devons dériver la fonction B(x). Appliquons la règle de dérivation pour chaque terme de B(x) :
B'(x) = (-3x^2 + 120x - 525)
b) Pour montrer que B'(x) = -3(x - 5)(x - 35), nous pouvons factoriser B'(x) en utilisant la méthode de factorisation par identification :
B'(x) = -3(x^2 - 40x + 175)
= -3(x - 5)(x - 35)
2) a) Pour étudier le signe de B'(x) sur l'intervalle [0 ; 45], nous devons trouver les valeurs de x pour lesquelles B'(x) = 0. En résolvant l'équation -3(x - 5)(x - 35) = 0, nous trouvons deux solutions : x = 5 et x = 35. Ces valeurs divisent l'intervalle [0 ; 45] en trois parties.
Sur l'intervalle [0 ; 5], B'(x) est négatif.
Sur l'intervalle ]5 ; 35[, B'(x) est positif.
Sur l'intervalle ]35 ; 45], B'(x) est négatif.
b) Pour dresser le tableau de variation de B sur [0 ; 45], nous devons étudier le signe de B'(x) et les valeurs de B(x) aux points critiques. En utilisant les informations de l'étape précédente, nous pouvons construire le tableau de variation.
3) Pour trouver la quantité de truffes qui maximise le bénéfice du producteur, nous devons trouver le maximum de la fonction B(x) sur l'intervalle [0 ; 45]. Nous pouvons le faire en identifiant les points critiques et en évaluant B(x) aux extrémités de l'intervalle.
En utilisant le tableau de variation de B, nous pouvons voir que le bénéfice du producteur est maximal lorsque x = 35 kg. Le bénéfice