Répondre :
Réponse :
SUITE NUMÉRIQUE
EXERCICE
Un capital Co = 10 000 € est placé sur un compte bancaire. Le 31 décembre de chaque année, la banque
prélève sur ce compte 20 € de frais de gestion
. Au 1er janvier de l'année suivante, les intérêts annuels
sont versés, à hauteur de 4 % du montant présent sur le compte la veille.
1. a. Calculer C₁ puis C₂ (arrondir au centime si nécessaire).
C1 = C0 + 0.04 x C0 - (20 + 0.04 x 20)
= 10 000 + 0.04 x 10 000 - (20 + 0.04 x 20)
= 10 000 + 400 - 20.8
= 10379.2 €
C2 = C1 + 0.04 x C1 - (20 + 0.04 x 20)
= 10379.2 + 0.04 x 10379.2 - 20.8
= 10773.568 €
b. Justifier que, pour tout entier n dans IN, C+1 = 1,04(Cn - 20).
Cn+1 = Cn + 0.04 x Cn - (20 + 0.04 x 20
= 1.04 x Cn - 1.04 x 20
= 1.04 x (Cn - 20)
puisque au 31 décembre de chaque année la banque prélève 20 € de frais de gestion et comme les intérêts de 4 % sont comptés la veille du 1er janvier donc on déduit les 20 € de 1.04 de 1.04 x le capital de départ
2. Pour tout entier n dans IN, on pose Vn = Cn - 520.
a. Calculer Vo.
V0 = C0 - 520 = 10 000 - 520 = 9480
b. En remarquant que 520 = 1,04 x 500, montrer que vn+1 = 1,04(C-520) = 1,04vn.
Vn+1 = Cn+1 - 520
= 1.04(Cn - 20) - 1.04 x 500
= 1.04(Cn - 20 - 500)
= 1.04(Cn - 520)
= 1.04 x Vn
c. Quelle est la nature de la suite (vn)? En déduire vn en fonction de n.
(Vn) est une suite géométrique de raison q = 1.04 et de premier terme
V0 = 9480
Vn = V0 x qⁿ soit Vn = 9480 x 1.04ⁿ
d. En remarquant que Cn =Vn + 520, donner l'expression de C en fonction de n, puis calculer le capital acquis au bout de 15 ans (arrondi au centime).
Cn = Vn + 520
= 9480 x 1.04ⁿ + 520
C15 = 9480 x 1.04¹⁵ + 520 ≈ 17592.94 €
Explications étape par étape :