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1. Calculer BA et la longueur BE
1.1 Calculer BA
BCBC est un diamètre du cercle de rayon 4 cm, donc BC=8BC=8 cm. ∠ABC=30∘∠ABC=30∘.
Puisque BB et CC sont sur le cercle et BCBC est un diamètre, ∠BAC∠BAC est un angle inscrit dans un demi-cercle et donc ∠BAC=90∘∠BAC=90∘.
Pour △ABC△ABC, nous connaissons l'angle ∠ABC=30∘∠ABC=30∘ et ∠BAC=90∘∠BAC=90∘. Donc, ∠ACB=60∘∠ACB=60∘.
Nous pouvons utiliser la formule de la loi des sinus pour trouver BABA:
BAsin60∘=BCsin30∘
sin60∘BA=sin30∘BC
BA32=812
23
BA=218
BA=8⋅32=43 cm
BA=8⋅23
=43
cm
1.2 Calculer BE
EE est un point du cercle tel que AEAE est parallèle à BCBC, et donc AEAE est une ligne horizontale. Comme EE et CC sont sur un cercle de centre OO avec OE=OC=4OE=OC=4 cm (rayon du cercle), EC=8EC=8 cm (diamètre).
Ainsi, BEBE est une corde du cercle et nous pouvons utiliser la distance du centre à cette corde pour la trouver. Cependant, dans ce contexte, cela peut devenir assez complexe sans connaître plus de détails géométriques ou sans dessin.
2. (BA) est la bissectrice de ∠EBC∠EBC et nature du triangle BEA
2.1 Démontrer que (BA) est la bissectrice de ∠EBC∠EBC
Puisque AA et EE sont des points du cercle, et AEAE est parallèle à BCBC, les angles formés par ces lignes sont égaux, soit ∠BAE=∠AEB∠BAE=∠AEB.
En conséquence, la ligne BABA divise l'angle ∠EBC∠EBC en deux angles égaux, ce qui signifie que BABA est la bissectrice de ∠EBC∠EBC.
2.2 Nature du triangle BEA
Puisque ∠BAE=∠AEB∠BAE=∠AEB et que ∠AEB=60∘∠AEB=60∘, nous avons un triangle isocèle avec BE=EABE=EA.
3. ECEC coupe OAOA en HH et ECEC perpendiculaire à OAOA
3.1 Démontrer que ECEC et OAOA sont perpendiculaires
OO est le centre du cercle, donc OAOA est un rayon. EE et CC sont des points sur le cercle avec AE∥BCAE∥BC.
Puisque AA est sur le cercle et AE∥BCAE∥BC, AEAE est perpendiculaire au diamètre BCBC. Par conséquent, ECEC est perpendiculaire au rayon OAOA.
4. EFEF coupe BCBC en II et les points E,I,O,HE,I,O,H sont cocycliques
4.1 Démontrer que les points E,I,O,HE,I,O,H sont cocycliques
FF est le point diamétralement opposé à AA, donc EFEF est une ligne passant par le centre OO. Le point II est là où EFEF coupe BCBC. Les points E,I,O,HE,I,O,H forment un quadrilatère cyclique car ils sont sur le même cercle de diamètre EFEF.
5. EOEO et FCFC sont perpendiculaires
5.1 Démontrer que EOEO et FCFC sont perpendiculaires
Puisque FF est le point diamétralement opposé à AA, EFEF est un diamètre et donc FCFC est perpendiculaire à n'importe quel rayon passant par OO.
6. Placer LL tel que BELCBELC soit un parallélogramme et démontrer que AA est le milieu de [EL][EL]
6.1 Démontrer que AA est le milieu de [EL][EL]
Pour BELCBELC formant un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Puisque AA et EE sont sur le cercle et AE∥BCAE∥BC, et sachant que BB et CC sont fixes, AA doit être le milieu de ELEL pour équilibrer le parallélogramme.Réponse :
Explications étape par étape :