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D'accord, je vais vous aider à résoudre ces exercices. Nous allons procéder étape par étape pour chaque question.
### Exercice 1
#### 1) Comparer les nombres suivants :
##### a) \( \frac{5}{4} \) et \( \frac{7}{2} \)
Pour comparer ces fractions, nous devons les exprimer avec le même dénominateur ou convertir les fractions en décimales :
\[
\frac{5}{4} = 1,25
\]
\[
\frac{7}{2} = 3,5
\]
Ainsi, \( \frac{5}{4} < \frac{7}{2} \).
##### b) \( \frac{4}{7} \) et \( \frac{3}{5} \)
Pour ces fractions, nous procédons de la même manière :
\[
\frac{4}{7} \approx 0,571
\]
\[
\frac{3}{5} = 0,6
\]
Donc, \( \frac{4}{7} < \frac{3}{5} \).
#### 2) Montrer que :
##### a) \( a - 6 \geq -1 \) pour \( a \geq 5 \)
Partons de l'inégalité \( a \geq 5 \) et soustrayons 6 des deux côtés :
\[
a - 6 \geq 5 - 6
\]
\[
a - 6 \geq -1
\]
Cette inégalité est vérifiée.
##### b) \(-2a + 3 \leq -7 \) pour \( a \geq 5 \)
Partons de l'inégalité \(-2a + 3 \leq -7\) et isolons \( a \) :
\[
-2a + 3 \leq -7
\]
\[
-2a \leq -10
\]
\[
a \geq 5
\]
Cette inégalité est aussi vérifiée.
#### 3) Encadrer \( \frac{2x}{3} \) et \( 2x + 3y \) pour \( 2 \leq x \leq 3 \) et \( 3 \leq y \leq 7 \)
##### a) Encadrer \( \frac{2x}{3} \)
\[
\text{Si } 2 \leq x \leq 3,
\]
\[
\frac{2 \cdot 2}{3} \leq \frac{2x}{3} \leq \frac{2 \cdot 3}{3}
\]
\[
\frac{4}{3} \leq \frac{2x}{3} \leq 2
\]
##### b) Encadrer \( 2x + 3y \)
\[
\text{Si } 2 \leq x \leq 3 \text{ et } 3 \leq y \leq 7,
\]
\[
2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 \leq 2x + 3y \leq 2 \cdot 3 + 3 \cdot 7
\]
\[
4 + 9 \leq 2x + 3y \leq 6 + 21
\]
\[
13 \leq 2x + 3y \leq 27
\]
### Exercice 2
#### 1) ABC est un triangle rectangle en A tel que \( AB = 3 \) cm et \( AC = 4 \) cm :
##### a) Montrer que \( BC = 5 \) cm
Utilisons le théorème de Pythagore :
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 3^2 + 4^2
\]
\[
BC^2 = 9 + 16
\]
\[
BC^2 = 25
\]
\[
BC = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
\]
##### b) Calculer \( \cos \widehat{A} \) et \( \cos \widehat{B} \)
\[
\cos \widehat{A} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}
\]
\[
\cos \widehat{B} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}
\]
#### 2) Soit O le milieu de [BC]
##### a) Montrer que \( OB = OC = OA \)
O est le milieu de [BC], donc \( OB = OC = \frac{BC}{2} \) :
\[
OB = OC = \frac{5}{2} = 2,5 \, \text{cm}
\]
\( OA \) est la médiane du triangle rectangle passant par l'angle droit, donc :
\[
OA = \frac{BC}{2} = 2,5 \, \text{cm}
\]
Ainsi, \( OB = OC = OA \).
##### b) Construire le cercle circonscrit au triangle ABC
Le centre du cercle circonscrit est le point O (milieu de [BC]), et le rayon est \( OB = OC = OA = 2,5 \, \text{cm} \).
### Exercice 3
#### 1) Déterminer les caractéristiques de \( \overline{AB} \)
Pour \( \overline{AB} \) dans un parallélogramme, les caractéristiques sont :
- Direction : Parallèle à \( \overline{DC} \)
- Sens : De A vers B
- Longueur : Identique à celle de \( \overline{DC} \)
#### 2) Réduire en utilisant la relation de Chasles
Utilisons la relation de Chasles \( \overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC} \) et d'autres relations similaires :
\[
\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}
\]
\[
\vec{BD} - \overline{AD} = \overline{BA}
\]
\[
\vec{MN} + \overline{AM} = \overline{AN}
\]
\[
\overline{AB} + \overline{OA} + \overline{DO} + \overline{CD} - \overline{CB} + \overline{BO} = \overline{AB} + \overline{AD} + \overline{DA} = \overline{AB}
\]
#### 3) ABD un triangle
##### a) Construire le point C tel que \( AB = DC \)
Dessinez le segment \( AB \) et construisez un point \( D \) tel que \( D \) soit sur le prolongement de \( AB \) avec \( AB = DC \).
##### b) Construire \( E \) l'image de \( D \) par la translation qui transforme \( B \) en \( A \)
Une translation qui transforme \( B \) en \( A \) doit déplacer chaque point de la distance et direction de \( B \) vers \( A \). Donc \( E \) doit être tel que \( DE \) est équivalent en longueur et en direction à \( BA \).
J'espère que cela vous aide à résoudre vos exercices ! Si vous avez des questions supplémentaires, n'hésitez pas à demander.
### Exercice 1
#### 1) Comparer les nombres suivants :
##### a) \( \frac{5}{4} \) et \( \frac{7}{2} \)
Pour comparer ces fractions, nous devons les exprimer avec le même dénominateur ou convertir les fractions en décimales :
\[
\frac{5}{4} = 1,25
\]
\[
\frac{7}{2} = 3,5
\]
Ainsi, \( \frac{5}{4} < \frac{7}{2} \).
##### b) \( \frac{4}{7} \) et \( \frac{3}{5} \)
Pour ces fractions, nous procédons de la même manière :
\[
\frac{4}{7} \approx 0,571
\]
\[
\frac{3}{5} = 0,6
\]
Donc, \( \frac{4}{7} < \frac{3}{5} \).
#### 2) Montrer que :
##### a) \( a - 6 \geq -1 \) pour \( a \geq 5 \)
Partons de l'inégalité \( a \geq 5 \) et soustrayons 6 des deux côtés :
\[
a - 6 \geq 5 - 6
\]
\[
a - 6 \geq -1
\]
Cette inégalité est vérifiée.
##### b) \(-2a + 3 \leq -7 \) pour \( a \geq 5 \)
Partons de l'inégalité \(-2a + 3 \leq -7\) et isolons \( a \) :
\[
-2a + 3 \leq -7
\]
\[
-2a \leq -10
\]
\[
a \geq 5
\]
Cette inégalité est aussi vérifiée.
#### 3) Encadrer \( \frac{2x}{3} \) et \( 2x + 3y \) pour \( 2 \leq x \leq 3 \) et \( 3 \leq y \leq 7 \)
##### a) Encadrer \( \frac{2x}{3} \)
\[
\text{Si } 2 \leq x \leq 3,
\]
\[
\frac{2 \cdot 2}{3} \leq \frac{2x}{3} \leq \frac{2 \cdot 3}{3}
\]
\[
\frac{4}{3} \leq \frac{2x}{3} \leq 2
\]
##### b) Encadrer \( 2x + 3y \)
\[
\text{Si } 2 \leq x \leq 3 \text{ et } 3 \leq y \leq 7,
\]
\[
2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 \leq 2x + 3y \leq 2 \cdot 3 + 3 \cdot 7
\]
\[
4 + 9 \leq 2x + 3y \leq 6 + 21
\]
\[
13 \leq 2x + 3y \leq 27
\]
### Exercice 2
#### 1) ABC est un triangle rectangle en A tel que \( AB = 3 \) cm et \( AC = 4 \) cm :
##### a) Montrer que \( BC = 5 \) cm
Utilisons le théorème de Pythagore :
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 3^2 + 4^2
\]
\[
BC^2 = 9 + 16
\]
\[
BC^2 = 25
\]
\[
BC = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
\]
##### b) Calculer \( \cos \widehat{A} \) et \( \cos \widehat{B} \)
\[
\cos \widehat{A} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}
\]
\[
\cos \widehat{B} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}
\]
#### 2) Soit O le milieu de [BC]
##### a) Montrer que \( OB = OC = OA \)
O est le milieu de [BC], donc \( OB = OC = \frac{BC}{2} \) :
\[
OB = OC = \frac{5}{2} = 2,5 \, \text{cm}
\]
\( OA \) est la médiane du triangle rectangle passant par l'angle droit, donc :
\[
OA = \frac{BC}{2} = 2,5 \, \text{cm}
\]
Ainsi, \( OB = OC = OA \).
##### b) Construire le cercle circonscrit au triangle ABC
Le centre du cercle circonscrit est le point O (milieu de [BC]), et le rayon est \( OB = OC = OA = 2,5 \, \text{cm} \).
### Exercice 3
#### 1) Déterminer les caractéristiques de \( \overline{AB} \)
Pour \( \overline{AB} \) dans un parallélogramme, les caractéristiques sont :
- Direction : Parallèle à \( \overline{DC} \)
- Sens : De A vers B
- Longueur : Identique à celle de \( \overline{DC} \)
#### 2) Réduire en utilisant la relation de Chasles
Utilisons la relation de Chasles \( \overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC} \) et d'autres relations similaires :
\[
\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}
\]
\[
\vec{BD} - \overline{AD} = \overline{BA}
\]
\[
\vec{MN} + \overline{AM} = \overline{AN}
\]
\[
\overline{AB} + \overline{OA} + \overline{DO} + \overline{CD} - \overline{CB} + \overline{BO} = \overline{AB} + \overline{AD} + \overline{DA} = \overline{AB}
\]
#### 3) ABD un triangle
##### a) Construire le point C tel que \( AB = DC \)
Dessinez le segment \( AB \) et construisez un point \( D \) tel que \( D \) soit sur le prolongement de \( AB \) avec \( AB = DC \).
##### b) Construire \( E \) l'image de \( D \) par la translation qui transforme \( B \) en \( A \)
Une translation qui transforme \( B \) en \( A \) doit déplacer chaque point de la distance et direction de \( B \) vers \( A \). Donc \( E \) doit être tel que \( DE \) est équivalent en longueur et en direction à \( BA \).
J'espère que cela vous aide à résoudre vos exercices ! Si vous avez des questions supplémentaires, n'hésitez pas à demander.