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Étudier le signe d'une fonction revient à déterminer pour quelles valeurs de la variable la fonction est positive, négative ou nulle. Voici les étapes générales à suivre pour étudier le signe d'une fonction :
1. **Trouver les zéros de la fonction :**
- Résoudre l'équation \( f(x) = 0 \) pour trouver les points où la fonction s'annule. Ces points divisent la ligne des réels en intervalles où la fonction peut changer de signe.
2. **Étudier le signe dans chaque intervalle :**
- Choisir un point de test dans chaque intervalle déterminé par les zéros de la fonction.
- Évaluer la fonction en ce point de test pour déterminer si la fonction est positive ou négative dans cet intervalle.
3. **Analyser les comportements aux bornes des intervalles :**
- Vérifier si la fonction est définie et continue aux bornes des intervalles, et examiner les comportements limites, le cas échéant.
Voici un exemple concret :
### Exemple : Étudier le signe de \( f(x) = x^2 - 4 \)
1. **Trouver les zéros de la fonction :**
- \( f(x) = 0 \)
- \( x^2 - 4 = 0 \)
- \( (x - 2)(x + 2) = 0 \)
- Les zéros sont \( x = 2 \) et \( x = -2 \).
2. **Déterminer les intervalles :**
- Les intervalles sont \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \) et \( (2, \infty) \).
3. **Étudier le signe dans chaque intervalle :**
- Pour \( x \in (-\infty, -2) \), choisir \( x = -3 \) :
- \( f(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \) (positif)
- Pour \( x \in (-2, 2) \), choisir \( x = 0 \) :
- \( f(0) = 0^2 - 4 = -4 \) (négatif)
- Pour \(