109 Un chocolatier décide de proposer une édition
spéciale de ses barres chocolatées : 30 % d'entre elles
contiennent un ticket doré donnant droit à une visite de
sa chocolaterie.
1. Donner p, la probabilité qu'une barre chocolatée
contienne un ticket doré.
2. On simule ci-dessous 50 échantillons de 400 barres cho-
colatées et on donne la fréquence de barres contenant des
tickets dorés dans chaque échantillon.
D.4D
Fréquence de tickets dores
0.35
0.30
0,25.
0,20
Echantillon n
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Combien y a-t-il de tickets dorés dans l'échantillon 41 ?
3. Pour un échantillon den barres chocolatées, on note fla
fréquence de tickets dorés obtenus.
Déterminer la proportion des 50 échantillons de la ques-
tion 2. pour lesquels l'écart entre p et f est inférieur ou
1
égal à
4. Charlie achète 400 barres chocolatées.
a) Sur son réseau social préféré, il a 88 amis. Au vu du gra-
phique précédent, est-il presque sur de pouvoir les amener
avec lui à la chocolaterie ?
b) Même question s'il avait 140 amis sur ce réseau social.

Commençons par répondre aux questions une par une.1. Probabilité qu'une barre chocolatée contienne un ticket doréLa probabilité ( p ) qu'une barre chocolatée contienne un ticket doré est de 30%, soit :[ p = 0,30 ]2. Nombre de tickets dorés dans l'échantillon 41On dispose du graphique des fréquences des tickets dorés pour 50 échantillons de 400 barres chocolatées chacun. Pour déterminer le nombre de tickets dorés dans l'échantillon 41, on utilise la fréquence donnée par le graphique pour cet échantillon. Supposons que la fréquence pour l'échantillon 41 soit ( f_{41} ).Le nombre de tickets dorés dans l'échantillon 41 se calcule par :[ \text{Nombre de tickets dorés} = f_{41} \times 400 ]Si la fréquence pour l'échantillon 41 est, par exemple, 0,25 (cela doit être lu du graphique), alors :[ \text{Nombre de tickets dorés} = 0,25 \times 400 = 100 ]3. Proportion des échantillons où l'écart entre ( p ) et ( f ) est inférieur ou égal à ( \frac{1}{20} )On cherche la proportion des échantillons pour lesquels ( |p - f| \leq \frac{1}{20} ).La valeur de ( \frac{1}{20} ) est :[ \frac{1}{20} = 0,05 ]Donc, on cherche la proportion des échantillons où l'écart absolu entre 0,30 (valeur de ( p )) et la fréquence observée ( f ) est inférieur ou égal à 0,05.Pour chaque échantillon ( i ), on a une fréquence ( f_i ). On calcule ( |0,30 - f_i| ) pour chaque échantillon et on compte combien de fois cette valeur est inférieure ou égale à 0,05.Supposons qu'il y ait ( k ) échantillons où cette condition est satisfaite. La proportion recherchée est alors :[ \frac{k}{50} ]4. Estimation du nombre de tickets dorés pour CharlieCharlie achète 400 barres chocolatées. La probabilité que chaque barre contienne un ticket doré est de 30%, donc en moyenne, Charlie peut s'attendre à obtenir :[ 0,30 \times 400 = 120 \text{ tickets dorés} ]a) S'il a 88 amisCharlie a 120 tickets dorés en moyenne. Comme il veut emmener ses 88 amis, il lui suffit d'avoir au moins 89 tickets (88 amis + lui-même).Puisque 120 > 89, il est presque sûr d'avoir assez de tickets.b) S'il a 140 amisDans ce cas, Charlie voudrait 141 tickets (140 amis + lui-même). Étant donné qu'il peut s'attendre à avoir 120 tickets en moyenne, il n'est pas certain d'en avoir assez pour emmener 140 amis.En résumé :La probabilité qu'une barre chocolatée contienne un ticket doré est ( p = 0,30 ).Le nombre de tickets dorés dans l'échantillon 41 est calculé à partir de la fréquence observée pour cet échantillon.La proportion des échantillons pour lesquels ( |p - f| \leq 0,05 ) est déterminée en comptant le nombre d'échantillons satisfaisant cette condition et en divisant par 50.Charlie est presque sûr d'avoir assez de tickets pour emmener 88 amis, mais pas pour en emmener 140.