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Bonjour exercice sur les suites
Soit u la suite définie par U0 = 0,5 et Un+1 = Un^2
1) Montrer que pour tout n ∈ N, 0 ≤Un ≤ 1
on note P(n) : 0 ≤ un ≤ 1
- initialisation : pour n = 0 on a 0 ≤ u0 = 0.5 ≤ 1 donc P(0) est vraie
- hérédité : soit un entier n ≥ 0 et supposons P(n) vraie et montrons que P(n+1) est vraie
H.R : 0 ≤ un ≤ 1 ⇔ 0 ≤ un² ≤ 1² = 1 ⇔ 0 ≤ un+1 ≤ 1 donc P(n+1) est vraie
- conclusion : P(0) est vraie et P(n) est héréditaire au rang n donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n
c'est à dire ∀n ∈ N on a ; 0 ≤ un ≤ 1
2) étudier la monotonie de u
un+1 - un = un² - un
un(un - 1) or un ≥ 0 et un ≤ 1 ⇔ un - 1 ≤ 0
donc un+1 - un ≤ 0 par suite (un) est décroissante
3) en déduire que y est convergente et en trouver la limite
puisque (un) est décroissante est minorée par 0 donc (un) est convergente
f(un) = un+1 et f est continue sur [0 ; 1] donc f(l) = l
l = l²
⇔ l² - l = 0
⇔ l(l - 1) = 0 DONC l = 0
limun = 0
Merci
Explications étape par étape :