Répondre :
soit ABC un triangle isocèle en A tel que AB=AC=10
a.conjecture :l'aire de ABC est maximale si BC=10
b. En appelant x cette longueur BC , exprimer l'aire S(x) du triangle ABC en fonction de x.
S(x)=base x hauteur/2
base=BC=x
hauteur=AH où H est le pied de la hauteur issue de A
AH²+BH²=AB²
donc AH²=10²-(x/2)²=100-x²/4
donc AH=√(100-x²/4)
donc S(x)=x*√(100-x²/4)/2=x/2√(100-x²/4)=x/4√(400-x²)
c. en remarquant que S(x) =1/4 racine carré de f(x) pour x>0 , déterminer la valeur de x pour laquelle l'aire du triangle ABC est maximale.
S(x)=1/4*f(x)
donc f(x)=4*S(x)
=x√(400-x²)
f'(x)=1*√(400-x²)+x*(-2x)/(2√(400-x²))
=(400-x²)/√(400-x²)-x²/√(400-x²)
=(400-2x²)/√(400-x²)
=2(200-x²)/√(400-x²)
f est donc croissante sur [0;10√2] puis décroissante sur [10√2;20]
l'aire S est alors maximale pour x=10√2 soit x=14,14