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Exercice 53:
(1)
Appelons H le pied de la hauteur issue de I, dans le triangle DCI. H est donc sur [DC], et l'on a (HI) perpendiculaire à (DC).
(2)
Appelons J l'intersection de (HI) et (AB). Les poins H, I, J sont alignés.
Il découle du (1) que (IJ) est perpendiculaire à (DC)
(3)
ABCD est un carré, donc (DC) est perpendiculaire à (AD).
Du (2) et (3), on déduit que (IJ) est parallèle à (AD).
En appliquant Thalès au triangle AMD, on obtient: JI/AD=MI/MD.
L'énoncé de l'exercice pose I milieu de [MD], donc MI/MD=1/2.
On en déduit que JI/AD=1/2, donc JI=AD/2=5/2 (puisque AD vaut 5cm).
Par conséquent HI=5/2 (puisque HI=HJ-JI=AD-AD/2=AD/2=5/2). Donc la longueur HI est une constante, quel que soit x.
L'aire du triangle DCI est le demi-produit de la base DC par sa hauteur HI, avec DC constante (=côté du carré) et HI constante (on vient de le démontrer).
Conclusion: l'aire du triangle DCI est constante, pour toute valeur de x. Donc la fonction ne varie pas, elle n'admet pas de maximum, ni de minimum.
Exercice 66
a) Pour démontrer l'égalité cos(Pi/2=I'H/IM , on se placera dans le triangle rectangle IMH et on démontrera que HI'M=x/2 .
Pour démontrer l'égalité cos (PI/2=I'M/2 , on se placera dans le triangle rectangle IMI' (à démontrer).
Pour b) Il suffit de multiplier terme à terme les égalités n°2 et n°3 de a),puis d'utiliser l'égalité n°1.