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1) Etudier les variations de la fonction f(x)=x+1/x sur l'intervalle ]0;+∞[
f'(x)=1-1/x²
=(1-x²)/x²
=(1-x)(1+x)/x²
f'(x)>0 si (1-x)(1+x)>0
donc x>1 (car x positif...)
donc f est décroissante sur ]0;1]
f est croissante sur [1;+∞[
2) En déduire que f(x) ≥ 2
f admet un minimum en car f(1)=2 donc f(x) ≥ 2 sur ]0;+∞[3) Redémontrer, par une méthode purement algébrique, que
x+1/x ≥ 2 pour tout x strictement positif
x+1/x≥2 donc x²+1≥2x
donc x²-2x+1≥0
donc (x-1)²≥0
x ∈ ]0;+∞[