Répondre :
pour plus de simplicité toutes les écritures seront vectorielles :
1) A'B=pA'C=pA'B+pBC
donc A'B=p/(1-p)BC
de même : qB'A=B'C=B'A+AC
donc B'A=1/(q-1)AC
aussi : rC'B=C'A=C'B+BA
donc C'B=1/(1-r)BA
2) dans le repère (A,AB,AC) on a:
A'(1/(p-1);p/(p-1)
B'(0;1/(1-q))
C'(r/(1-r);0)
donc B'C'(r/(1-r);1/(q-1))
et A'B'(1/(1-p);1/(1-q)-p/(p-1))
A4,B',C' sont alignés si les vecteurs B'C' et A'B' sont colinéaires
donc r/(1-r)(1/(1-q)-p/(p-1))=1/(q-1)*(1/(1-p)
donc r/(1-r)(pq-1)/((1-q)(p-1))=1/((q-1)(1-p))
donc (pqr-r)/((1-r)(1-p)(1-q))=1/((1-q)(1-p))
donc pqr-r=1-r
donc pqr=1
d'où le th de Menelaüs