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Chaque lot est vendu 5000 euro M.Leboss a calculé que, le bénéfice, exprimé en euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend x lots est donné par la fonction B définie par B(x)= - x³ +84x² , ou 0 ≤ x ≤ 100.
a) Calculer B' (x)
B'(x)=-3x²+168x
b) étudier le signe de B'(x) , puis dresser le tableau de variation de la fonction B.
B'(x)>0 si -3x²+168x>0
donc x²-56x<0 car x>0
donc x<56
ainsi B est croissante sur [0;56] et décroissante sur [56;100]
c) Déterminer le nombre de lots que l'entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal ; calculer ce bénéfice maximal.
B est maximal si x=56
ce Bénéfice maximal vaut B(56)=87808 €
d) Montrer que le coût de production C(x) pour x lots produits est C(x) = x³-84x²+5000x.
la recette est R(x)=5000x
le coût total est défini par : B(x)=R(x)-C(x)
donc C(x)=R(x)-B(x)
=5000x-(-x³+84x²)
=x³-84x²+5000x