Répondre :
2° Montrer que les droites (BH) et (CD) sont
parallèles ainsi que les droites (BD) et (CH).
Dans le triangle ABC le point H est l'orthocentre
donc (BH) est la hauteur issue de B donc (BH) (AC)
C est sur le cercle de diamètre [AD] donc ADC est
rectangle en C donc (CD) (AC)
donc (BH) // (CD)
3° a) Quelle est la nature du quadrilatère BHCD ? Justifier la réponse. De même (CH) // (BD) car (CH) est hauteur du triangle ABC donc (CH)(AB) et B est sur le cercle de diamètre [AD] donc (BD)(AB) Le quadrilatère BHCD a ses cotés deux à deux parallèles c'est donc un parallélogramme.
b) En déduire que [BC] et [HD] ont le même milieu. BHCD est un parallélogramme donc ses diagonales, [BC] et [HD], se coupent en leur milieu
4° Soit H' le symétrique de H par rapport à (BC).
a) Montrer que la droite (BC) est parallèle à (H'D). [BC] et [HD], se coupent en leur milieu donc la droite (BC) passe par le milieu de [DH] H et H' sont symétriques par rapport à (BC) donc (BC) passe par le milieu de [HH'] Dans le triangle La droite (BC) passe par les milieux de côtés [HH'] et [DH] elle est donc parallèle au troisième côté donc (H'D) // (BC)
b) En déduire que le point H' appartient au cercle C H et H' sont symétriques par rapport à (BC) donc (HH') (BC) donc (H'D) (HH') donc (H'D) (AH') donc H' est sur le cercle de diamètre [AD]
3° a) Quelle est la nature du quadrilatère BHCD ? Justifier la réponse. De même (CH) // (BD) car (CH) est hauteur du triangle ABC donc (CH)(AB) et B est sur le cercle de diamètre [AD] donc (BD)(AB) Le quadrilatère BHCD a ses cotés deux à deux parallèles c'est donc un parallélogramme.
b) En déduire que [BC] et [HD] ont le même milieu. BHCD est un parallélogramme donc ses diagonales, [BC] et [HD], se coupent en leur milieu
4° Soit H' le symétrique de H par rapport à (BC).
a) Montrer que la droite (BC) est parallèle à (H'D). [BC] et [HD], se coupent en leur milieu donc la droite (BC) passe par le milieu de [DH] H et H' sont symétriques par rapport à (BC) donc (BC) passe par le milieu de [HH'] Dans le triangle La droite (BC) passe par les milieux de côtés [HH'] et [DH] elle est donc parallèle au troisième côté donc (H'D) // (BC)
b) En déduire que le point H' appartient au cercle C H et H' sont symétriques par rapport à (BC) donc (HH') (BC) donc (H'D) (HH') donc (H'D) (AH') donc H' est sur le cercle de diamètre [AD]