Répondre :
xn = 2^n - n avec n appartenant à IN.
On a Sm = x0 + x1 + ...... + xm = (2^0 - 0) + (2^1 - 1) + .... (2^m - m) = (2^0 + 2^1 + ... + 2^m) - (0 + 1 + ..... + m) = (2^(m+1) - 1) - (m(m+1)/2) = (2^(m+2) - 2 - m(m+1))/2 , cette expression doit être une puissance de 2. Soit p appartenant à IN et Sm = 2^p , donc 2^(m+2) - 2 - m(m+1) = 2^(p+1), donc 2^(m+2) - 2^(p+1) - 2 = m(m+1), donc 2(2^(m+1) - 2^p - 1) = m(m+1), donc :
a) si m = 0 , on a S0 = x0 = 2^0 - 0 = 2^0 c'est une puissance de 2.
b) si m = 1, on S1 = x0 + x1 = (2^0 - 0) + (2^1 - 1) = 1 + 2 - 1 = 2 = 2^1 c'est une puissance de 2.
c) si m = 2 , on a S2 = x0 + x1 + x2 = (2^0 - 0) + (2^1 - 1) + (2^2 - 2) = 1 + 1 + 2 = 4 = 2^2 c'est puissance de 2.
d) Pour m > 2 , on a 2(2^(m+1) - 2^p - 1) = m(m+1), donc on ne peut pas faire correspondre un facteur de gauche avec un facteur de droite, donc on ne peut pas trouver de Sm pour m > 2 .
Donc m = 0 ou m = 1 ou m = 2 sont les solutions du problème .
On a Sm = x0 + x1 + ...... + xm = (2^0 - 0) + (2^1 - 1) + .... (2^m - m) = (2^0 + 2^1 + ... + 2^m) - (0 + 1 + ..... + m) = (2^(m+1) - 1) - (m(m+1)/2) = (2^(m+2) - 2 - m(m+1))/2 , cette expression doit être une puissance de 2. Soit p appartenant à IN et Sm = 2^p , donc 2^(m+2) - 2 - m(m+1) = 2^(p+1), donc 2^(m+2) - 2^(p+1) - 2 = m(m+1), donc 2(2^(m+1) - 2^p - 1) = m(m+1), donc :
a) si m = 0 , on a S0 = x0 = 2^0 - 0 = 2^0 c'est une puissance de 2.
b) si m = 1, on S1 = x0 + x1 = (2^0 - 0) + (2^1 - 1) = 1 + 2 - 1 = 2 = 2^1 c'est une puissance de 2.
c) si m = 2 , on a S2 = x0 + x1 + x2 = (2^0 - 0) + (2^1 - 1) + (2^2 - 2) = 1 + 1 + 2 = 4 = 2^2 c'est puissance de 2.
d) Pour m > 2 , on a 2(2^(m+1) - 2^p - 1) = m(m+1), donc on ne peut pas faire correspondre un facteur de gauche avec un facteur de droite, donc on ne peut pas trouver de Sm pour m > 2 .
Donc m = 0 ou m = 1 ou m = 2 sont les solutions du problème .