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Exercice 2 :
1) Soit f et g deux fonctions croissantes sur I telles que, pour tout x de I, f(x) et g(x) sont positifs. Démontrez que la fonction p et définie par p(x)=f(x)*g(x) est croissante sur I.
f et g sont positives donc
f(x)>0 et g(x)>0
f et g sont croissantes donc
f'(x)>0 et g'(x)>0
p'(x)=(f(x)*g(x))'
=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)
donc p'(x)>0
donc p est croissante sur IR
2)Et si les deux fonctions sont croissantes et négatives (c'est-à-dire f(x) et g(x) négatifs pour tout x)? Démontrez un résultat général ou donner des contre exemples montrant qu'il peut se passer des "choses" différentes).
si f et g sont négatives
alors f(x)>0 et g(x)<0
exemple :
f(x)=-1/x² sur ]0;+inf[
g(x)=-1/(x^4) sur ]0;+inf[
donc f et g sont croissantes ET négatives sur ]0;+inf[
or p(x)=f(x)*g(x)
=(-1/x²)*(-1/x^4)
=1/x^6
donc p(x)>0 sur ]0;+inf[
mais p est décroissante sur ]0;+inf[
1) Soit f et g deux fonctions croissantes sur I telles que, pour tout x de I, f(x) et g(x) sont positifs. Démontrez que la fonction p et définie par p(x)=f(x)*g(x) est croissante sur I.
f et g sont positives donc
f(x)>0 et g(x)>0
f et g sont croissantes donc
f'(x)>0 et g'(x)>0
p'(x)=(f(x)*g(x))'
=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)
donc p'(x)>0
donc p est croissante sur IR
2)Et si les deux fonctions sont croissantes et négatives (c'est-à-dire f(x) et g(x) négatifs pour tout x)? Démontrez un résultat général ou donner des contre exemples montrant qu'il peut se passer des "choses" différentes).
si f et g sont négatives
alors f(x)>0 et g(x)<0
exemple :
f(x)=-1/x² sur ]0;+inf[
g(x)=-1/(x^4) sur ]0;+inf[
donc f et g sont croissantes ET négatives sur ]0;+inf[
or p(x)=f(x)*g(x)
=(-1/x²)*(-1/x^4)
=1/x^6
donc p(x)>0 sur ]0;+inf[
mais p est décroissante sur ]0;+inf[