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Bonsoir,
1) Tableau de signes de f(x)
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&\dfrac{1}{4}&&1&&+\infty\\ 4x-1&&-&0&+&+&+&\\ x-1&&-&-&-&0&+&\\ f(x)&&+&0&-&|&+& \\\end{array}[/tex]
Si x ∈ ]-inf ; 1/4 [ U ]1 ; +inf[, alors f(x) > 0 ==> Cf est au-dessus de l'axe Ox
Si x ∈ ]1/4 ; 1[, alors f(x) < 0 ==> Cf est en dessous de l'axe Ox.
Si x = 1/4, alors Cf coupe l'axe Ox.
Si x = 1, alors Cf n'est pas définie
2) Remplacer x par 0 dans l'expression de g(x).
g(0) = 0 / (-4) = 0 ==> [tex]C_g\ \cap\ Ox=\{(0;0)\}[/tex]
3) Etudier le signe de f(x) - g(x).
[tex]f(x)-g(x)=\dfrac{4x-1}{x-1}-\dfrac{7x^2}{4(x-1)}\\\\f(x)-g(x)=\dfrac{4(4x-1)-7x^2}{4(x-1)}\\\\f(x)-g(x)=\dfrac{16x-4-7x^2}{4(x-1)}\\\\f(x)-g(x)=\dfrac{-7x^2+16x-4}{4(x-1)}[/tex]
Racines : numérateur : 2 et 2/7
dénominateur : 1
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc||}x&-\infty&&\dfrac{2}{7}&&1&&2&&+\infty\\ -7x^2+16x-4&&-&0&+&+&+&0&-&\\ x-1&&-&-&-&0&+&+&+&\\ f(x)-g(x)&&+&0&-&|&+&0&-& \\\end{array}[/tex]
Si x ∈ ]-inf ; 2/7[ U ]1 ;2[, alors Cf est au-dessus de Cg
Si x ∈ ]2/7 : 1[ U ]2 ; +inf[, alors Cf est en-dessous de Cg.
Si x = 2/7 ou si x = 2, alors les courbes ont un point commun.
Si x = 1, la courbe Cf n'est pas définie.
4) Il faut résoudre le système suivant :
[tex]\left\{\begin{matrix}y=mx+4\\ y=\dfrac{4x-1}{x-1}\end{matrix}\right.\\\\\\mx+4=\dfrac{4x-1}{x-1}\\\\(mx+4)(x-1)=4x-1\\\\mx^2-mx+4x-4=4x-1\\\\mx^2-mx-3=0[/tex]
a) si m = 0, l'équation mx² - mx - 3 = 0 est impossible car nous aurions 0*x² - 0*x - 3 = 0, soit -3 = 0.
Il n'y a pas de point commun entre Cf et la droite.
b) si m ≠ 0, alors l'équation mx² - mx - 3 = 0 est une équation du second degré dont le nombre des racines dépend du signe du discriminant Δ.
Δ = (-m)² - 4 * m * (-3) = m² + 12m = m(m + 12);
Tableau de signes de Δ
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc||}m&-\infty&&-12&&0&&+\infty\\ m&&-&-&-&0&+&\\ m+12&&-&0&+&+&+&\\ \Delta&&+&0&-&0&+& \\\end{array}[/tex]
Si m ∈ ]-inf : -12[ U ]0 ; +inf[, alors Δ > 0 ===> Cf et la droite ont deux points d'intersection
Si m ∈ ]-12 ; 0[, alors Δ < 0 ==> Il n'y a pas de point commun entre Cf et la droite.
Si m = -12, alors Δ = 0 ==> Cf et la droite ont un seul point d'intersection
Le cas où m = 0 a été traité dans le a).
1) Tableau de signes de f(x)
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&\dfrac{1}{4}&&1&&+\infty\\ 4x-1&&-&0&+&+&+&\\ x-1&&-&-&-&0&+&\\ f(x)&&+&0&-&|&+& \\\end{array}[/tex]
Si x ∈ ]-inf ; 1/4 [ U ]1 ; +inf[, alors f(x) > 0 ==> Cf est au-dessus de l'axe Ox
Si x ∈ ]1/4 ; 1[, alors f(x) < 0 ==> Cf est en dessous de l'axe Ox.
Si x = 1/4, alors Cf coupe l'axe Ox.
Si x = 1, alors Cf n'est pas définie
2) Remplacer x par 0 dans l'expression de g(x).
g(0) = 0 / (-4) = 0 ==> [tex]C_g\ \cap\ Ox=\{(0;0)\}[/tex]
3) Etudier le signe de f(x) - g(x).
[tex]f(x)-g(x)=\dfrac{4x-1}{x-1}-\dfrac{7x^2}{4(x-1)}\\\\f(x)-g(x)=\dfrac{4(4x-1)-7x^2}{4(x-1)}\\\\f(x)-g(x)=\dfrac{16x-4-7x^2}{4(x-1)}\\\\f(x)-g(x)=\dfrac{-7x^2+16x-4}{4(x-1)}[/tex]
Racines : numérateur : 2 et 2/7
dénominateur : 1
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc||}x&-\infty&&\dfrac{2}{7}&&1&&2&&+\infty\\ -7x^2+16x-4&&-&0&+&+&+&0&-&\\ x-1&&-&-&-&0&+&+&+&\\ f(x)-g(x)&&+&0&-&|&+&0&-& \\\end{array}[/tex]
Si x ∈ ]-inf ; 2/7[ U ]1 ;2[, alors Cf est au-dessus de Cg
Si x ∈ ]2/7 : 1[ U ]2 ; +inf[, alors Cf est en-dessous de Cg.
Si x = 2/7 ou si x = 2, alors les courbes ont un point commun.
Si x = 1, la courbe Cf n'est pas définie.
4) Il faut résoudre le système suivant :
[tex]\left\{\begin{matrix}y=mx+4\\ y=\dfrac{4x-1}{x-1}\end{matrix}\right.\\\\\\mx+4=\dfrac{4x-1}{x-1}\\\\(mx+4)(x-1)=4x-1\\\\mx^2-mx+4x-4=4x-1\\\\mx^2-mx-3=0[/tex]
a) si m = 0, l'équation mx² - mx - 3 = 0 est impossible car nous aurions 0*x² - 0*x - 3 = 0, soit -3 = 0.
Il n'y a pas de point commun entre Cf et la droite.
b) si m ≠ 0, alors l'équation mx² - mx - 3 = 0 est une équation du second degré dont le nombre des racines dépend du signe du discriminant Δ.
Δ = (-m)² - 4 * m * (-3) = m² + 12m = m(m + 12);
Tableau de signes de Δ
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc||}m&-\infty&&-12&&0&&+\infty\\ m&&-&-&-&0&+&\\ m+12&&-&0&+&+&+&\\ \Delta&&+&0&-&0&+& \\\end{array}[/tex]
Si m ∈ ]-inf : -12[ U ]0 ; +inf[, alors Δ > 0 ===> Cf et la droite ont deux points d'intersection
Si m ∈ ]-12 ; 0[, alors Δ < 0 ==> Il n'y a pas de point commun entre Cf et la droite.
Si m = -12, alors Δ = 0 ==> Cf et la droite ont un seul point d'intersection
Le cas où m = 0 a été traité dans le a).