Répondre :
Il s'agit de résoudre une équation différentielle du 1er ordre :
(E) : N'(t)=a*N(t)-N²(t) et N(0)=2a
on obtient : N'=a*N-N²
donc N'/N²=a/N-1
on pose N=1/u
donc u=1/N et u'=-N'/N²
donc -u'=a*u-1
donc u'=-a*u+1
on pose u(t)=C*e^(-at)
donc u'(t)=-a*C*e^(-at)=-a*u(t)
donc u(t)=C*e^(-at) est une solution générale de (E)
de plus u0(t)=1/a est une solution particulière de (E)
donc les solutions complètes de (E) sont de la forme:
u(t)=C*e^(-at)+1/a
donc N(t)=1/(C*e^(-at)+1/a)
ainsi lim(N(t),+inf)=a
(E) : N'(t)=a*N(t)-N²(t) et N(0)=2a
on obtient : N'=a*N-N²
donc N'/N²=a/N-1
on pose N=1/u
donc u=1/N et u'=-N'/N²
donc -u'=a*u-1
donc u'=-a*u+1
on pose u(t)=C*e^(-at)
donc u'(t)=-a*C*e^(-at)=-a*u(t)
donc u(t)=C*e^(-at) est une solution générale de (E)
de plus u0(t)=1/a est une solution particulière de (E)
donc les solutions complètes de (E) sont de la forme:
u(t)=C*e^(-at)+1/a
donc N(t)=1/(C*e^(-at)+1/a)
ainsi lim(N(t),+inf)=a