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Bonsoir
1. Les solutions de l'équation différentielle y'(t) = Ky(t) sont de la forme [tex]y=A\times e^{g(t)}[/tex] où A ∈R et g(t) est une primitive de K.
Or une primitive de K est Kt.
Donc les solutions de l'équation différentielle y'(t) = Ky(t) sont de la forme [tex]y=A\times e^{Kt}[/tex] où A ∈ R.
2. Résolvons l'équation différentielle avec les contraintes données.
Tous les 10 ans, la population de poissons est multipliée par 10.
[tex]y(t)(t+10)=10y(t)\\\\Ae^{K(t+10)}=10Ae^{Kt}\\\\Ae^{Kt}e^{10K}=10Ae^{Kt}\\\\e^{10K}=10\\\\10K=ln(10)\\\\K=\dfrac{ln(10)}{10}\approx 0,23[/tex]
Donc [tex]y(t)=Ae^{0,23t} [/tex]
La population initiale est de 1000 poissons.
[tex]y(0)=Ae^{0,23\times0}=1000\\A\times e^0=1000\\A\times1=1000\\A=1000[/tex]
D'où [tex]y(t)=1000e^{0,23t} [/tex]
3; Aujourd'hui, t = 20.
[tex]y(20)=1000e^{0,23\times20}\\y(20)=1000e^{4,6}\\\\y(20)\approx99484,3[/tex]
Aujourd'hui, il y a 99 484 poissons.
4) Déterminons t pour que l'on ait : y(t) = 200 000.
[tex]200000=1000e^{0,23t}\\\\200=e^{0,23t}\\\\0,23t=ln(200)\\\\t=\dfrac{ln(200)}{0,23}\approx23[/tex]
Comme le temps initial se situe il y a 20 ans, le ministère pourra lever la protection dans 3 ans.
1. Les solutions de l'équation différentielle y'(t) = Ky(t) sont de la forme [tex]y=A\times e^{g(t)}[/tex] où A ∈R et g(t) est une primitive de K.
Or une primitive de K est Kt.
Donc les solutions de l'équation différentielle y'(t) = Ky(t) sont de la forme [tex]y=A\times e^{Kt}[/tex] où A ∈ R.
2. Résolvons l'équation différentielle avec les contraintes données.
Tous les 10 ans, la population de poissons est multipliée par 10.
[tex]y(t)(t+10)=10y(t)\\\\Ae^{K(t+10)}=10Ae^{Kt}\\\\Ae^{Kt}e^{10K}=10Ae^{Kt}\\\\e^{10K}=10\\\\10K=ln(10)\\\\K=\dfrac{ln(10)}{10}\approx 0,23[/tex]
Donc [tex]y(t)=Ae^{0,23t} [/tex]
La population initiale est de 1000 poissons.
[tex]y(0)=Ae^{0,23\times0}=1000\\A\times e^0=1000\\A\times1=1000\\A=1000[/tex]
D'où [tex]y(t)=1000e^{0,23t} [/tex]
3; Aujourd'hui, t = 20.
[tex]y(20)=1000e^{0,23\times20}\\y(20)=1000e^{4,6}\\\\y(20)\approx99484,3[/tex]
Aujourd'hui, il y a 99 484 poissons.
4) Déterminons t pour que l'on ait : y(t) = 200 000.
[tex]200000=1000e^{0,23t}\\\\200=e^{0,23t}\\\\0,23t=ln(200)\\\\t=\dfrac{ln(200)}{0,23}\approx23[/tex]
Comme le temps initial se situe il y a 20 ans, le ministère pourra lever la protection dans 3 ans.