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1ère partie
(cosa+isina)⁴ de la forme (a+b)⁴
(a+b)⁴=(a+b)²(a+b)²=(a²+2ab+b²)(a²+2ab+b²)=a⁴+2a³b+a²b²+2a³b+4a²b²+2ab³+a²b²+2ab³+b⁴
D’où (a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
Donc (cosa+isina)⁴=cos⁴a+4(cos³a)(isina)+6(cos²a)(i²sin²a)+4(cosa)(i³sin³a)+i⁴(sin⁴a)
On sait que i²=-1, i³=-i et et i⁴=1
(cosa+isina)⁴ = cos⁴a+4i(cos³a)(sina)+6(cos²a)(-sin²a)+4(cosa)(-isin³a)+sin⁴a
(cosa+isina)⁴ = cos⁴a+sin⁴a-6(cos²a)(sin²a)+4i(cos³a)(sina)-4i(cosa)(sin³a)
(cosa+isina)⁴ = cos⁴a+sin⁴a-6((cosa)(sina))²+4i(cosa)(sina)(cos²a-sin²a)
On traite chaque terme à part :
On sait que cos²x=(1+cos2x)/2
D’où cos⁴a=(1+cos2a)²/4=(1/4)(1+2cos2a+cos²2a)=(1/4)(1+2cos2a+(1+cos4a)/2)
=1/4+(1/2)cos2a+1/8+(1/8)cos4a d’où cos⁴a=3/8+(1/2)cos2a+(1/8)cos4a
On sait que sin²x=(1-cos2a)/2
D’où sin⁴a=(1-cos2a)²/4=(1/4)(1-2cos2a+cos²2a)=(1/4)(1-2cos2a+(1+cos4a)/2)
=1/4-(1/2)cos2a+1/8+(1/8)cos4a d’où sin⁴a=3/8-(1/2)cos2a+(1/8)cos4a
On sait que (cosx)(sinx)=(1/2)sin2x
D’où -6((cosa)(sina))²=-6((1/2)sin2a)²=(-6/4)sin²2a=(-3/2)sin²2a=(-3/2)((1-cos4a)/2)=(-3/4)(1-cos4a)
D’où -6((cosa)(sina))²=(-3/4)(1-cos4a)
On sait que (cosx)(sinx)=(1/2)sin2x et que cos²x-sin²x=cos2x
D’où 4i(cosa)(sina)(cos²a-sin²a)=4i((1/2)sin2a)(cos2a)=2i(sin2a)(cos2a)=2i((1/2)sin4a)
D’où 4i(cosa)(sina)(cos²a-sin²a)=i(sin4a)
Comme (cosa+isina)⁴ = cos⁴a+sin⁴a-6((cosa)(sina))²+4i(cosa)(sina)(cos²a-sin²a)
On remplace chaque terme et on obtient :
(cosa+isina)⁴= 3/8+(1/2)cos2a+(1/8)cos4a+3/8-(1/2)cos2a+(1/8)cos4a)-(3/4)(1-cos4a)+i(sin4a)
(cosa+isina)⁴= 6/8+(2/8)cos4a-3/4+(3/4)cos4a+i(sin4a)
(cosa+isina)⁴= 3/4+(1/4)cos4a-3/4+(3/4)cos4a+i(sin4a)
(cosa+isina)⁴=cos4a+i(sin4a)
2ème partie
cos4a=2cos²2a-1=2(2cos²a-1)²-1=2(4cos⁴a-4cos²a+1)-1=8cos⁴a-8cos²a+2-1
=1+8(cos²a)(cos²a-1)=1+8(cos²a)(-sin²a)=1-8((cosa)(sina))²
d’où cos4a=1-8((cosa)(sina))²=(1-2√2(cosa)(sina))(1+2√2(cosa)(sina))
sin4a=2(sin2a)(cos2a)=2(2(sina)(cosa))(cos²a-sin²a)
d’où sin4a=4(sina)(cosa)(cos²a-sin²a)= 4(sina)(cosa)(cosa-sina) )(cosa+sina)