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Bonsoir,
1) Le centre du cercle est le point J(0;1).
Le rayon de ce cercle est égal à 1.
2) Montrons que MJ=1
[tex]MJ=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0)^2+(\dfrac{3}{2}-1)^2}\\\\MJ=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(\dfrac{1}{2})^2}\\\\MJ=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}\\\\MJ=\sqrt{\dfrac{4}{4}}=1[/tex]
3) a) Une équation de (BM) est de la forme y = ax + b.
Calcul du coefficient directeur :
[tex]a=\dfrac{y_M-y_B}{x_M-x_B}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-2}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0}\\\\a=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}[/tex]
L'ordonnée à l'origine de la droite est b = 2 puisque la droite passe par le point B(0;2)
D'où [tex](BM) : y =\dfrac{-1}{\sqrt{3}}x+2[/tex]
Les coordonnées de D s'obtiennent en remplaçant y par 0 dans l'équation de (BM).
[tex]0 =\dfrac{-1}{\sqrt{3}}x+2\\\\\dfrac{1}{\sqrt{3}}x=2\\\\x=2\sqrt{3}[/tex]
D'où [tex]D(2\sqrt{3} ; 0)[/tex]
b) Par conséquent, nous avons [tex]K(\sqrt{3} ; 0)[/tex]
4) Vérifions si l'égalité de Pythagore est vérifiée dans le triangle JMK, c'est-à-dire si nous avons : JK² = JM² + MK²
[tex]JM=1[/tex] (rayon du cercle centré en J)
**************************************
[tex]MK=\sqrt{(\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(0-\dfrac{3}{2})^2}\\\\MK=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(-\dfrac{3}{2})^2}\\\\MK=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{4}}\\\\MK=\sqrt{\dfrac{12}{4}}\\\\MK=\dfrac{\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}\\\\MK=\sqrt{3}[/tex]
**************************************
[tex]JK=\sqrt{(\sqrt{3}-0)^2+(0-1)^2}\\\\JK=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}\\\\JK=\sqrt{3+1}\\\\JK=\sqrt{4}=2[/tex]
**************************************
[tex]JM^2+MK^2=1^2+(\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4\\\\JK^2 = 2^2 = 4[/tex]
Donc la relation de Pythagore est vérifiée.
Par la réciproque de son théorème, nous pouvons dire que le triangle JMK est rectangle en K.
1) Le centre du cercle est le point J(0;1).
Le rayon de ce cercle est égal à 1.
2) Montrons que MJ=1
[tex]MJ=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0)^2+(\dfrac{3}{2}-1)^2}\\\\MJ=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(\dfrac{1}{2})^2}\\\\MJ=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}\\\\MJ=\sqrt{\dfrac{4}{4}}=1[/tex]
3) a) Une équation de (BM) est de la forme y = ax + b.
Calcul du coefficient directeur :
[tex]a=\dfrac{y_M-y_B}{x_M-x_B}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-2}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0}\\\\a=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}[/tex]
L'ordonnée à l'origine de la droite est b = 2 puisque la droite passe par le point B(0;2)
D'où [tex](BM) : y =\dfrac{-1}{\sqrt{3}}x+2[/tex]
Les coordonnées de D s'obtiennent en remplaçant y par 0 dans l'équation de (BM).
[tex]0 =\dfrac{-1}{\sqrt{3}}x+2\\\\\dfrac{1}{\sqrt{3}}x=2\\\\x=2\sqrt{3}[/tex]
D'où [tex]D(2\sqrt{3} ; 0)[/tex]
b) Par conséquent, nous avons [tex]K(\sqrt{3} ; 0)[/tex]
4) Vérifions si l'égalité de Pythagore est vérifiée dans le triangle JMK, c'est-à-dire si nous avons : JK² = JM² + MK²
[tex]JM=1[/tex] (rayon du cercle centré en J)
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[tex]MK=\sqrt{(\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(0-\dfrac{3}{2})^2}\\\\MK=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(-\dfrac{3}{2})^2}\\\\MK=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{4}}\\\\MK=\sqrt{\dfrac{12}{4}}\\\\MK=\dfrac{\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}\\\\MK=\sqrt{3}[/tex]
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[tex]JK=\sqrt{(\sqrt{3}-0)^2+(0-1)^2}\\\\JK=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}\\\\JK=\sqrt{3+1}\\\\JK=\sqrt{4}=2[/tex]
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[tex]JM^2+MK^2=1^2+(\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4\\\\JK^2 = 2^2 = 4[/tex]
Donc la relation de Pythagore est vérifiée.
Par la réciproque de son théorème, nous pouvons dire que le triangle JMK est rectangle en K.