Répondre :
1) Prouver que le triangle MON est rectangle en N :
Le point N appartient au cercle dediamètre [OM].
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre, l'un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et ce côté est l'hypoténuse.
Le triangle MNO est donc rectangle en N
2) Justifiez que les droites (MN) et (QP) sont parallèles :
Le triangle MNO est rectangle en N, donc (MN) est perpendiculaire à (NO).
Le triangle OPQ est rectangle en P, donc (PQ) est perpendiculaire à (PO).
Les points N, O et P sont alignés, donc les droites (PO) et (NO) sont confondues.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (MN) et (PQ) sont parallèles
3) Dans le cas où ON = 5 cm, calculer la distance OP
Les droites (MQ) et (NP) sont sécantes en O.
Les droites (MN) et (PQ) sont parallèles
D'après le théorème de Thalès, on a :
OM/OQ = ON/OP = MN/QP
Si on remplace les lettres par les valeurs, cela donne :
7,5/4,5 = 5/OP
Donc OP = 5 x 4,5 = 2,4
7,5
Alors OP = 2,4 cm
Le point N appartient au cercle dediamètre [OM].
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre, l'un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et ce côté est l'hypoténuse.
Le triangle MNO est donc rectangle en N
2) Justifiez que les droites (MN) et (QP) sont parallèles :
Le triangle MNO est rectangle en N, donc (MN) est perpendiculaire à (NO).
Le triangle OPQ est rectangle en P, donc (PQ) est perpendiculaire à (PO).
Les points N, O et P sont alignés, donc les droites (PO) et (NO) sont confondues.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (MN) et (PQ) sont parallèles
3) Dans le cas où ON = 5 cm, calculer la distance OP
Les droites (MQ) et (NP) sont sécantes en O.
Les droites (MN) et (PQ) sont parallèles
D'après le théorème de Thalès, on a :
OM/OQ = ON/OP = MN/QP
Si on remplace les lettres par les valeurs, cela donne :
7,5/4,5 = 5/OP
Donc OP = 5 x 4,5 = 2,4
7,5
Alors OP = 2,4 cm