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A)Calculons le produit de M par le vecteur [tex]\left( \begin{array}{c} lambda \\ 1 \end{array} \right)[/tex].
[tex]MX=\left( \begin{array}{cc} 1&1 \\ 1&0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} lambda \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} lambda +1 \\ lambda+0 \end{array} \right)\\
=lambda\left( \begin{array}{c} 1+1/lambda \\ 1end{array} \right)[/tex]
Or, lambda est une solution de [tex]x^2-x-1=0[/tex], ce qui signifie que [tex]lambda=1+1/lambda[/tex].
Donc [tex]MX=lambda\left( \begin{array}{c} lambda \\1 \end{array} \right)[/tex]
Et on a montré que [tex]\left( \begin{array}{c} lambda \\ 1 \end{array} \right)[/tex] vérifie la propriété, donc appartient à l'ensemble E.
B) 0 est ici le vecteur vertical [tex]\left( \begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array} \right)[/tex]
On a bien: M*0=0=lambda*0
u appartient à E entraine : Mu=lambda*u
v appartient à E entraine : Mv=lambda*v
De plus, la multiplication d'une matrice par un vecteur est distributive: M(X+Y)=MX+MY
Donc: M(u+v)=Mu+Mv=lambda*u+lambda*v=lambda(u+v)
=> u+v appartient à E
M(cu)=c*Mu=c*lambda*u=lambda*(cu)
Donc cu appartient à E.