Répondre :
On considère une série de 9 nombres entiers strictement positifs. Si la médiane est 7 et la moyenne 10,quelle est la plus petite valeur de l’étendu? On donnera la série de nombres correspondant.
réponse:
soient a,b,c,d,e,f,g,h,i les 9 valeurs
Me=e=7
étendue=i-a
a+b+c+d+e+f+g+h+i=9*10=90
donc a+b+c+d+7+f+g+h+i=90
or 3+4+5+6+7+8+9+10+38=90
et 3+4+5+6+7+15+16+17+17=90
l'étendue minimale est donc e(min)=17-3=14
l'étendue maximale est donc e(max)=38-3=35
Puisque la moyenne des 9 nombres est 10,
et que la moyenne est le quotient de la somme des valeurs par l'effectif,
leur somme est de :
9 × 10 = 90
Puisque la médiane est 7, cela veut dire que la 5e valeur est 7
et qu'en mettant les valeurs par ordre croissant :
— les 4 valeurs qui précèdent sont situées entre 1 et 7
— et que les 4 valeurs qui suivent sont de 7 ou plus.
Puisque l'étendue est la différence entre la valeur la plus élevée et la moins élevée.
Puisque rien n'indique que plusieurs valeurs ne peuvent pas être égales.
On obtient ainsi pour :
— étendue minimum : e(min) = 7 soit 14 − 7
avec la série : 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 13 ; 14 ; 14 ; 14
étendue qui ne peut être réduite car
— les 4 valeurs en dessous de la médiane lui sont identiques,
pour monter le plus possible leur moyenne
(et augmenter le plus possible la valeur minimale) ;
— les 4 valeurs au-dessus doivent avoir une somme de 90 − (5 × 7) = 55
en étant les plus proches possibles les unes des autres, or 55 ÷ 4 = 13,75
(pour réduire le plus possible la valeur maximale).
— étendue maximum : e(min) = 57 soit 58 − 1
avec la série : 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 58
étendue qui ne peut être augmentée car
— les 4 valeurs en dessous de la médiane sont les plus petites possible
pour descendre au maximum leur moyenne
(et réduire au maximum la valeur minimale) ;
— les 3 valeurs suivant la médiane lui sont identiques
pour descendre au minimum leur moyenne,
ce qui permet de mettre en dernière valeur la valeur la plus élevée possible
soit 90 − (4 × 8) = 58
(et augmenter le plus possible la valeur maximale).