Répondre :
Étude de la fonction f(x) = x² + 3/|x| + 1
1) Parité(a) Définition : Une fonction f est paire si et seulement si f(-x) = f(x) pour tout x dans son domaine de définition.
(b)Étude de f(-x) :f(-x) = (-x)² + 3/|-x| + 1 = x² + 3/|x| + 1 = f(x)
(c) Conclusion : La fonction f est paire.2) Minimum absolu
(a) Définition : Un minimum absolu de la fonction f en un point c est un point tel que f(c) ≤ f(x) pour tout x dans le domaine de définition de f.
(b) Démonstration :Cas x > 0 :f(x) = x² + 3/x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4 ≥ 3/4Cas x < 0 :f(x) = x² - 3/x + 1 = (x - 1/2)² + 3/4 ≥ 3/4Cas x = 0 :f(0) = 1
On voit donc que f(x) ≥ 3/4 pour tout x, et f(1) = 1 = 3/4.
(c) Conclusion : La fonction f admet un minimum absolu en x = 1.
3) Monotonie
(a) Étude du signe de f'(x) :Dérivée de f : f'(x) = 2x - 3/(x²)Étude du signe de f'(x) :IntervalleSigne de f'(x)Conclusionx < 0-f est décroissante0 < x < √3/2+f est croissantex > √3/2-f est décroissante
(b) Tableau de variations :IntervalleVariationx < 0Décroissante0 < x < √3/2Croissantex > √3/2DécroissanteConclusionLa fonction f est paire.
La fonction f admet un minimum absolu en x = 1.La fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-∞; 0[ et ]√3/2; +∞[.
La fonction f est croissante sur l'intervalle ]0; √3/2[.
Conclusion:
La fonction f est paire.
La fonction f admet un minimum absolu en x = 1
.La fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-∞; 0[ et ]√3/2; +∞[.
La fonction f est croissante sur l'intervalle ]0; √3/2[.
