Réponse:
IL Y A BEAUCOUP TROP MAIS TIENS :
**EXERCICE 1 : La piscine de Louis**
1. **Exprimer AB en fonction de x**
L'aire du rectangle ABCD est égale à 300 m².
\[ \text{Aire du rectangle} = AB \times AD = 300 \]
Comme AD = x, on a :
\[ AB \times x = 300 \]
\[ AB = \frac{300}{x} \]
2. **Valeurs de x**
Pour que la zone entourant la piscine ait une largeur de 2 mètres, on a :
\[ AD + 4 = x + 4 = AB \]
Pour que la zone entourant la piscine ne dépasse pas la surface totale du terrain, on a :
\[ (x + 4) \times x \leq 300 \]
\[ x^2 + 4x - 300 \leq 0 \]
Cette équation du second degré admet des solutions entre 4 et 75 mètres.
3. **a) Exprimer QM et MN en fonction de x**
\[ QM = MN = \frac{x}{2} \]
**b) Montrer que l'aire A(x) de la piscine est donnée par**
\[ A(x) = x \times \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2} \]
\[ A(x) = 300 - 2x^2 \]
4. **a) Valeur x0 pour aire maximale**
Pour trouver x0, dérivons A(x) et cherchons sa racine :
\[ A'(x) = -4x \]
\[ -4x = 0 \]
\[ x0 = 0 \]
Mais cette valeur ne convient pas. En calculant A(x) pour x entre 4 et 75, on trouvera la valeur x0 pour laquelle A(x) est maximale.
**b) Tableau de variations de A**
\[ A'(x) < 0 \] pour \( x \in [4, x0] \)
\[ A'(x) > 0 \] pour \( x \in [x0, 75] \)
5. Si la piscine est carrée, alors \( AB = x \) et \( AD = x \).
\[ A(x) = x \times x = x^2 \]
Pour maximiser \( x^2 \) sous la contrainte \( x^2 \leq 300 \), la valeur maximale de x est \( \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \).
\[ A(x0) = (10\sqrt{3})^2 = 300 \]
**EXERCICE 2 :**
1. **Milieu I de [BC]**
\[ I = \left( \frac{B_x + C_x}{2}, \frac{B_y + C_y}{2} \right) \]
\[ I = \left( \frac{0 + 3}{2}, \frac{-2 + 3}{2} \right) \]
\[ I = \left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right) \]
2. **a) Symétrique A’ de A par rapport à I**
\[ A' = \left( 2 \times \frac{3}{2} - (-1), 2 \times \frac{1}{2} - 2 \right) \]
\[ A' = \left( 3, 0 \right) \]
**b) Nature du quadrilatère ABA’C**
AB = BC car le triangle ABC est isocèle en B.
\[ AB = BC = 3 \]
\[ A'B = 3 \]
\[ ABA'C \] est un rectangle.
**c) Centre du cercle C**
Un cercle circonscrit à un triangle est le centre d'intersection des médiatrices du triangle. Comme I est le milieu de [BC], I est également le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
3. **Tangente au cercle C**
Pour démontrer que la droite passant par B et T est tangente à C, il faut vérifier que le point de contact entre le cercle C et la droite BT est I. Utilisez la formule du produit scalaire ou la géométrie pour confirmer que la droite BT est tangente au cercle C en I.
