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Réponse:
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Explications étape par étape:
**1)**
a) Pour trouver les coordonnées du milieu I de [BC], nous utilisons la formule suivante :
\[I\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right)\]
Donc,
\[I\left(\frac{5 + 0}{2}, \frac{0 + 7}{2}\right)\]
\[I\left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right)\]
Donc, les coordonnées du milieu I de [BC] sont \(I\left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right)\).
b) Nous cherchons le nombre \(k\) tel que \(AG = k \cdot AI\). Le centre de gravité G partage chaque médiane dans un rapport de 2:1. Donc, \(k = 2\).
c) Pour calculer les coordonnées de \(AI\), nous utilisons la formule de la distance entre deux points :
\[AI = \sqrt{(x_A - x_I)^2 + (y_A - y_I)^2}\]
Nous avons déjà trouvé les coordonnées de \(A\) et \(I\), donc :
\[AI = \sqrt{(-2 - \frac{5}{2})^2 + (-3 - \frac{7}{2})^2}\]
\[AI = \sqrt{\left(-\frac{9}{2}\right)^2 + \left(-\frac{17}{2}\right)^2}\]
\[AI = \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{289}{4}}\]
\[AI = \sqrt{\frac{370}{4}}\]
\[AI = \sqrt{\frac{185}{2}}\]
Ensuite, pour calculer les coordonnées de \(AG\), nous multiplions simplement les coordonnées de \(AI\) par \(2\) (car \(k = 2\)) :
\[AG = (2 \cdot x_{AI}, 2 \cdot y_{AI})\]
\[AG = (2 \cdot -\frac{5}{2}, 2 \cdot -\frac{7}{2})\]
\[AG = (-5, -7)\]
Enfin, pour trouver les coordonnées de \(G\), nous utilisons la formule du centre de gravité :
\[G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)\]
Donc,
\[G\left(\frac{-2 + 5 + 0}{3}, \frac{-3 + 0 + 7}{3}\right)\]
\[G\left(\frac{3}{3}, \frac{4}{3}\right)\]
\[G\left(1, \frac{4}{3}\right)\]
Donc, les coordonnées de G sont \(G(1, \frac{4}{3})\).
**2)**
Pour prouver que \(GA + GB + GC = 0\), nous pouvons utiliser le fait que le centre de gravité divise chaque médiane dans un rapport de \(2:1\). Ainsi, la somme des vecteurs \(GA\), \(GB\), et \(GC\) est égale à zéro.