Exercice I: On considère la fonction numérique / définie sur R par f(x)=e^{2x}(2-e^{2x})-x et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (0,\vec{i};\vec{j}) (Unité: 2 cm) 20 1) Montrer que lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=+\infty et lim_{-\infty}f(x)=-\infty 2) a) Démontrer que la droite (A) d'équation y=-x est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de -\infty b) Résoudre l'équation 2-e^{2x}=0 puis montrer que la courbe (C) est au-dessus de (\Delta)sur^{2} l'intervalle 1-\infty,\frac{ln~2}{2}] et en dessous de (A) sur l'intervalle [\frac{ln2}{2},+\infty] 3) Montrer que lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=-\infty puis interpréter géométriquement le résultat. ) a) Montrer que pour tout z de R, f^{\prime}(x)=-(2e^{2x}-1)^{2} 4 b) Dresser le tableau de variations de la fonction f. 5) Montrer que A(-\frac{ln~2}{2},\frac{ln~2}{2}+\frac{3}{4}) est un point d^{\prime} inflexion de (C). 6) Montrer que f(x)=0 admet une solution unique a telle que 0<\alpha<\frac{ln~2}{2} 7) Construire (A) et (C) dans le repère (0,\vec{i};\vec{j}) ci-dessus (On prendra -\frac{ln~2}{2}\approx-0,35 et \frac{3}{4}+\frac{ln~2}{2}\approx 1,1) 8) a) Montrer que la fonction / admet une fonction réciproque f^{-1} définie sur R. b) Construire dans le même repère (O,\vec{i},\vec{j}) la courbe représentative de la fonction f^{-1} (Remar- quer que la droite ( \Delta) est perpendiculaire à la première bissectrice y=x c) Calculer (f^{-1})^{\prime}(1) (Remarquer que f^{-1}(1)=0