Exercice I: On considère la fonction numérique / définie sur R par f(x)=e^{2x}(2-e^{2x})-x et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (0,\vec{i};\vec{j}) (Unité: 2 cm) 20 1) Montrer que lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=+\infty et lim_{-\infty}f(x)=-\infty 2) a) Démontrer que la droite (A) d'équation y=-x est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de -\infty b) Résoudre l'équation 2-e^{2x}=0 puis montrer que la courbe (C) est au-dessus de (\Delta)sur^{2} l'intervalle 1-\infty,\frac{ln~2}{2}] et en dessous de (A) sur l'intervalle [\frac{ln2}{2},+\infty] 3) Montrer que lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=-\infty puis interpréter géométriquement le résultat. ) a) Montrer que pour tout z de R, f^{\prime}(x)=-(2e^{2x}-1)^{2} 4 b) Dresser le tableau de variations de la fonction f. 5) Montrer que A(-\frac{ln~2}{2},\frac{ln~2}{2}+\frac{3}{4}) est un point d^{\prime} inflexion de (C). 6) Montrer que f(x)=0 admet une solution unique a telle que 0<\alpha<\frac{ln~2}{2} 7) Construire (A) et (C) dans le repère (0,\vec{i};\vec{j}) ci-dessus (On prendra -\frac{ln~2}{2}\approx-0,35 et \frac{3}{4}+\frac{ln~2}{2}\approx 1,1) 8) a) Montrer que la fonction / admet une fonction réciproque f^{-1} définie sur R. b) Construire dans le même repère (O,\vec{i},\vec{j}) la courbe représentative de la fonction f^{-1} (Remar- quer que la droite ( \Delta) est perpendiculaire à la première bissectrice y=x c) Calculer (f^{-1})^{\prime}(1) (Remarquer que f^{-1}(1)=0

a) Pour ( x \rightarrow +\infty ), on a ( e^{2x} \rightarrow +\infty ). Ainsi, ( e^{2x}(2-e^{2x}) ) tend vers ( +\infty ) car le terme ( 2-e^{2x} ) est toujours négatif. De plus, ( x ) tend vers ( +\infty ), donc ( -x ) tend vers ( -\infty ). Donc, ( f(x) = e^{2x}(2-e^{2x}) - x ) tend vers ( +\infty ).b) Pour ( x \rightarrow -\infty ), on a ( e^{2x} \rightarrow 0 ). Ainsi, ( e^{2x}(2-e^{2x}) ) tend vers ( 0 ) car le terme ( 2-e^{2x} ) est toujours positif. De plus, ( x ) tend vers ( -\infty ), donc ( -x ) tend vers ( +\infty ). Donc, ( f(x) = e^{2x}(2-e^{2x}) - x ) tend vers ( -\infty ).a) On calcule la limite de ( f(x) ) lorsque ( x ) tend vers ( -\infty ): [ \lim_{x \to -\infty} e^{2x}(2-e^{2x}) - x = \lim_{x \to -\infty} e^{2x} \cdot \lim_{x \to -\infty} (2-e^{2x}) - \lim_{x \to -\infty} x = 0 \cdot (2 - 0) - (-\infty) = +\infty ] On observe que ( f(x) ) tend vers ( +\infty ) lorsque ( x ) tend vers ( -\infty ), ce qui signifie que la droite ( y = -x ) est une asymptote à la courbe ( (C) ) au voisinage de ( -\infty ).b) Pour résoudre l'équation ( 2 - e^{2x} = 0 ), on trouve: [ 2 - e^{2x} = 0 ] [ e^{2x} = 2 ] [ 2x = \ln(2) ] [ x = \frac{\ln(2)}{2} ] Sur l'intervalle ( (-\infty, \frac{\ln(2)}{2}] ), ( e^{2x} ) est décroissante, donc ( f(x) = e^{2x}(2-e^{2x}) - x ) est au-dessus de ( y = -x ). Sur l'intervalle ( [\frac{\ln(2)}{2}, +\infty) ), ( e^{2x} ) est croissante, donc ( f(x) = e^{2x}(2-e^{2x}) - x ) est en dessous de ( y = -x ).Pour ( x \rightarrow +\infty ), ( f(x) ) tend vers ( +\infty ) et ( x ) tend vers ( +\infty ), donc ( \frac{f(x)}{x} ) tend vers ( +\infty ). Géométriquement, cela signifie que la courbe ( (C) ) s'approche de l'axe des ( x ) de manière asymptotique lorsque ( x ) tend vers ( +\infty ).[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(e^{2x}(2-e^{2x}) - x\right) ] [ = e^{2x} \cdot 2 \cdot 2e^{2x} - e^{2x} \cdot 2e^{2x} - 1 ] [ = 4e^{4x} - 2e^{4x} - 1 ] [ = 2e^{4x} - 1 ] [ = -(2e^{2x} - 1)^2 ]Pour montrer que ( A ) est un point d'inflexion de ( (C) ), il faut vérifier que la courbe change de concavité en ce point. Pour cela, on étudie le signe de la dérivée seconde ( f''(x) ) autour de ( x = -\frac{\ln(2)}{2} ). [ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}\left(-(2e^{2x} - 1)^2\right) ] [ = -2 \cdot 2e^{2x}(2e^{2x} - 1) \cdot 2e^{2x} ] [ = -8e^{6x}(2e^{2x} - 1) ] [ = -8e^{8x} + 8e^{6x} ] Pour ( x = -\frac{\ln(2)}{2} ), ( e^{2x} = 2 ), donc ( e^{6x} = 8 ), et ( e^{8x} = 64 ). Donc, ( f''\left(-\frac{\ln(2)}{2}\right) =