Réponse:
1. L'égalité utilisée par Laureline est :
\(100 \times 17! = 98 \times 17 + 2 \times 17\)
Cette astuce de calcul est correcte car elle utilise la propriété de la factorielle \(n!\) qui peut être réécrite comme \(n \times (n-1)!\). Ainsi, \(17! = 17 \times 16!\), ce qui permet de simplifier les calculs.
2. Utilisons cette astuce pour effectuer mentalement les calculs suivants :
a) \(A = 74 \times 999 + 74 \times 1\)
\(= 74 \times (1000 - 1) + 74 \times 1\)
\(= 74 \times 1000 - 74\)
\(= 74,000 - 74\)
\(= 73,926\)
b) \(B = 56 \times 102 - 56 \times 2\)
\(= 56 \times (100 + 2) - 56 \times 2\)
\(= 56 \times 100 + 56 \times 2 - 56 \times 2\)
\(= 56 \times 100\)
\(= 5600\)
c) \(C = 1003 \times 32 - 3 \times 32\)
\(= 32 \times (1000 + 3) - 3 \times 32\)
\(= 32 \times 1000 + 32 \times 3 - 3 \times 32\)
\(= 32 \times 1000\)
\(= 32000\)
3. Pour compléter les égalités, nous avons :
a) \(a \times k \times a + k \times b = (a + b) \times k \times a\)
b) \(b \times k \times a - k \times b = (a - b) \times k \times b\)
4. Pour calculer mentalement la dépense totale, nous devons multiplier la longueur de chaque type de tissu par son prix par mètre et ensuite additionner les deux montants.
Pour le tissu madras : \(6,75 \times 15,80 = 106,65\) euros
Pour le tissu uni : \(3,25 \times 15,80 = 51,35\) euros
La dépense totale est \(106,65 + 51,35 = 158\) euros.
