Website Statistics Aidez moi sil vous plaît Un chariot de masse 200 kg se déplace à partir dune origine O sur une voie rectiligne et horizontale xt est la distance en mètre qui le
taisasegnora
résolu

Aidez moi s’il vous plaît

Un chariot de masse 200 kg se déplace à partir
d'une origine O sur une voie rectiligne et horizontale.
x(t) est la distance, en mètre, qui le sépare de l'origine
en fonction du temps t, en seconde (t > 0).
D'après les lois de Newton, la fonction x vérifie
200x" 25x = 50 où x" est la dérivée de la fonction
dérivée x' par rapport au temps t.
1. Déterminer x(0).
2. v(t) est la vitesse du chariot à l'instant t et vérifie
v(t)=x'(t).
=-
a) Démontrer que x vérifie 200x" + 25x' = 50 si, et seule-
ment si, la fonction v vérifie v' = 0,125v+0,25.
b) Résoudre sur [0;+∞[l'équation différentielle :
y' 0,125y + 0,25.
c) La vitesse initiale du chariot est supposée nulle, ainsi
v(0) = 0.
Déterminer alors la vitesse v(t) pour tout réel t.
d) Étudier la limite de ven + ∞ et interpréter le résultat.
3. a) Démontrer alors que la fonction x est définie sur
l'intervalle [0; +[par:
x(t)=2t 16+ 16e 0,125t
b) Quelle est la distance, en m, parcourue par le chariot
au bout de 30 secondes ? Arrondir au dixième.

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Répondre :



1. Pour déterminer x(0), il suffit de substituer t = 0 dans l'équation x(t). Cela nous donnera la distance à l'instant initial.

2a. Pour démontrer que x vérifie 200x" + 25x' = 50 si et seulement si v vérifie v' = 0,125v + 0,25, nous devons prendre les dérivées de x" et x'. Ensuite, nous pouvons les substituer dans l'équation donnée et simplifier pour obtenir l'équation pour v.

2b. Pour résoudre l'équation différentielle v' = 0,125v + 0,25, nous pouvons utiliser des méthodes de résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre.

2c. Étant donné que la vitesse initiale v(0) est supposée nulle, nous pouvons utiliser la solution de l'équation différentielle pour trouver la vitesse v(t) pour tout t réel.

2d. En étudiant la limite de v lorsque t tend vers l'infini, nous pouvons interpréter ce résultat pour comprendre le comportement de la vitesse du chariot à long terme.

3a. Pour démontrer que la fonction x est définie sur l'intervalle [0; +∞[, nous pouvons utiliser la solution de l'équation différentielle pour exprimer x(t) en fonction de t.

3b. Pour trouver la distance parcourue par le chariot après 30 secondes, nous pouvons simplement substituer t = 30 dans l'expression de x(t) et arrondir au dixième près.

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