Répondre :
Soit les équations données : [a + b + c = 0] [abc = 10]
Pour résoudre ce problème, commençons par exprimer ((a+b)^3), ((a+c)^3), et ((b+c)^3). Ensuite, nous multiplierons ces expressions.
Développons ((a+b)^3) : [(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3]
Développons ((a+c)^3) : [(a+c)^3 = a^3 + 3a^2c + 3ac^2 + c^3]
Développons ((b+c)^3) : [(b+c)^3 = b^3 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3]
Maintenant, multiplions ces trois expressions : [ \begin{align*} &(a+b)3(a+c)3(b+c)^3 \ &= (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b3)(a3 + 3a^2c + 3ac^2 + c3)(b3 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3) \end{align*} ]
En utilisant les équations données, nous pouvons simplifier davantage :
Remplaçons (a^3 + b^3) par ((a+b)^3 - 3ab(a+b)) : [ \begin{align*} a^3 + b^3 &= (a+b)^3 - 3ab(a+b) \ &= (a+b)^3 - 3abc \end{align*} ]
Remplaçons (a^3 + c^3) par ((a+c)^3 - 3ac(a+c)) : [ \begin{align*} a^3 + c^3 &= (a+c)^3 - 3ac(a+c) \ &= (a+c)^3 - 3abc \end{align*} ]
Remplaçons (b^3 + c^3) par ((b+c)^3 - 3bc(b+c)) : [ \begin{align*} b^3 + c^3 &= (b+c)^3 - 3bc(b+c) \ &= (b+c)^3 - 3abc \end{align*} ]
Maintenant, notre expression devient : [ \begin{align*} &(a+b)3(a+c)3(b+c)^3 \ &= [(a+b)^3 - 3abc][(a+c)^3 - 3abc][(b+c)^3 - 3abc] \ &= (a^3 + b3)(a3 + c3)(b3 + c^3) \ &= [(a+b)^3 - 3abc][(a+c)^3 - 3abc][(b+c)^3 - 3abc] \end{align*} ]
En utilisant les équations données, nous pouvons simplifier davantage : [ \begin{align*} (a+b)3(a+c)3(b+c)^3 &= [(a+b)^3 - 3abc][(a+c)^3 - 3abc][(b+c)^3 - 3abc] \ &= (a^3 + b3)(a3 + c3)(b3 + c^3) \ &= [(a+b)^3 - 3abc][(a+c)^3 - 3abc][(b+c)^3 - 3abc] \ &= (a^3 + b3)(a3 + c3)(b3 + c^3) \ &= 30 \end{align*} ]
Donc, ((a+b)3(a+c)3(b+c)^3 = 30).
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