TP 1: Modélisation à l'aide de suites numériques
Le but de ce TP est de proposer des modélisations d'une infection non mortelle au sein d'une population
donnée. Cette population est divisée en 3 groupes :
•
Les personnes Saines (susceptibles d'être infectées)
Les personnes Infectées (infectés pendant un certain temps avant de devenir résistants)
Les personnes Résistantes (qui ne sont plus infectées et ne contaminent plus)
Pour chaque type de personne, on associe une suite représentant le nombre d'individu chaque semaine. On note
ainsi (Sn) le nombre de personnes saines au bout de n semaines, (In) le nombres d'infectés et (R) le nombre
de rétablis.
Partie A Premier modèle
On schématise ci-dessous la situation : chaque semaine, une proportion a de personnes passe de l'état sain à
celui d'infecté et une proportion à des infectés se trouve rétablie.
S
R
On considère qu'il y a initialement 1000 personnes dont une seule est infectée.
1. Donner les valeurs de So, lo et Ro-
2. A quel intervalle appartiennent les réel a et λ?
3. Justifier que pour tout n E NI + Sn + Rn = 1000
4. Dans cette partie, on considère que pour tout ne N, on a: In+1 = αSn + (1 - λ)I. Exprimer alors Sn+1
en fonction de S, puis de n.
5. Déterminer la nature de (Sn) calculer un grand nombre de termes à l'aide de votre calculatrice avant
d'en déduire vers quelle valeur semblent tendre les termes de cette suite. On appellera cette valeur la
limite de la suite et la notera lim S. Interpréter cette limite dans le contexte.
14+8
6. Supposons que n soit très grand, justifier pourquoi on peut assimiler la suite (In) à une suite
géométrique. Déterminer sa limite et interpréter dans le contexte.
Partie B: un modèle plus réaliste
1. On suppose que chaque personne infectée rencontre une personne saine, quel sera le nombre de
rencontre lors de la première semaine? Lors de la semaine n?
2. On note a la probabilité qu'une personne saine soit infectée la semaine (n + 1). Exprimer Sn+1 en
fonction de S, de In et de a.
3. Chaque semaine, une proportion à passe de l'état infecté à résistant. Exprimer R+1 en fonction de I, et
Rn.
4. En admettant que In+1 = (1-2)In + asn × In. Vérifier que la population reste constante.
5. a. Représenter graphiquement chacune des suites à l'aide d'un tableur, on prendra a = 0,001, λ = 0,1,
So=999, 10 = 1 et R₁ = 0.
b. On s'intéresse ici à la suite (In) donner graphiquement, les variations, le maximum et la limite de cette
suite. Interpréter dans le contexte.
6. Modifier les paramètres a et à et dites pourquoi certaines valeurs invalident le modèle.
Conclusion: Pour chacune des suites, donner les variations, le maximum ainsi que la limite. Dans quelle
mesure les observations effectuées plaident-elles en faveur de la vaccination?

1. Pour le modèle donné, les valeurs initiales sont :
- So : le nombre de personnes saines initiales = 999 (puisque une personne est déjà infectée)
- Io : le nombre de personnes infectées initiales = 1
- Ro : le nombre de personnes résistantes initiales = 0

2. Les réels a et λ doivent appartenir à l'intervalle [0,1]. Cela signifie que la proportion de personnes qui passent de l'état sain à infecté (a) et la proportion de personnes qui se rétablissent (λ) doivent être des valeurs entre 0 et 1.

3. Pour justifier que pour tout n ∈ ℕ, Sn + Rn = 1000, on peut utiliser le fait que la somme des nombres de personnes saines et résistantes reste constante dans la population totale. Donc, à chaque semaine, la somme de Sn et Rn doit être égale au nombre initial de personnes (1000 dans ce cas).

4. Dans ce modèle, on a In+1 = αSn + (1 - λ)I. Pour exprimer Sn+1 en fonction de S et n, on peut utiliser la relation Sn+1 = So - In+1 + Rn. En substituant In+1 par αSn + (1 - λ)I, on obtient Sn+1 = So - (αSn + (1 - λ)I) + Rn.

5. Pour déterminer la nature de la suite (Sn) et trouver vers quelle valeur les termes semblent tendre, il serait préférable de calculer un grand nombre de termes à l'aide d'une calculatrice. Cela te donnera une idée de la tendance de la suite.