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1) a) Pour déterminer l'équation réduite de la droite (AB), nous devons d'abord calculer la pente (coeficient directeur) de la droite en utilisant les coordonnées des points A(2;3) et B(-2;5). La formule pour calculer la pente (m) est :
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
En utilisant les coordonnées de A et B, nous avons :
m = (5 - 3) / (-2 - 2) = 2 / -4 = -1/2
Maintenant que nous avons la pente, nous pouvons utiliser l'une des coordonnées des points A ou B et la pente pour former l'équation réduite de la droite (AB). Prenons le point A(2;3) :
y = mx + b
3 = (-1/2) * 2 + b
3 = -1 + b
b = 4
L'équation réduite de la droite (AB) est donc y = (-1/2)x + 4.
b) Pour déterminer la relation entre les droites (AB) et (D), nous pouvons comparer leurs pentes. La droite (AB) a une pente de -1/2, tandis que la droite (D) a une pente de -2. Puisque les pentes sont différentes, les droites (AB) et (D) ne sont pas parallèles. Elles vont donc se croiser en un point.
2) Pour montrer que y = 2x + 4 est l'équation réduite de la médiatrice du segment [AB], nous devons prouver deux choses : que cette équation représente une droite perpendiculaire à (AB) et qu'elle passe par le milieu du segment [AB].
Pour montrer la perpendicularité, nous devons vérifier que le produit des pentes de (AB) et de la médiatrice est égal à -1. La pente de (AB) est -1/2, donc la pente de la médiatrice doit être 2 (le négatif de l'inverse de -1/2).
Pour montrer que la médiatrice passe par le milieu du segment
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
En utilisant les coordonnées de A et B, nous avons :
m = (5 - 3) / (-2 - 2) = 2 / -4 = -1/2
Maintenant que nous avons la pente, nous pouvons utiliser l'une des coordonnées des points A ou B et la pente pour former l'équation réduite de la droite (AB). Prenons le point A(2;3) :
y = mx + b
3 = (-1/2) * 2 + b
3 = -1 + b
b = 4
L'équation réduite de la droite (AB) est donc y = (-1/2)x + 4.
b) Pour déterminer la relation entre les droites (AB) et (D), nous pouvons comparer leurs pentes. La droite (AB) a une pente de -1/2, tandis que la droite (D) a une pente de -2. Puisque les pentes sont différentes, les droites (AB) et (D) ne sont pas parallèles. Elles vont donc se croiser en un point.
2) Pour montrer que y = 2x + 4 est l'équation réduite de la médiatrice du segment [AB], nous devons prouver deux choses : que cette équation représente une droite perpendiculaire à (AB) et qu'elle passe par le milieu du segment [AB].
Pour montrer la perpendicularité, nous devons vérifier que le produit des pentes de (AB) et de la médiatrice est égal à -1. La pente de (AB) est -1/2, donc la pente de la médiatrice doit être 2 (le négatif de l'inverse de -1/2).
Pour montrer que la médiatrice passe par le milieu du segment