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Réponse:
1. Compléter le tableau
Les données fournies sont les suivantes :
- 200 moteurs sont prélevés au total.
- 16 moteurs ont le défaut M.
- 12 moteurs ont le défaut E.
- 178 moteurs sont en parfait état de marche.
Nous allons d'abord calculer le nombre de moteurs ayant les deux défauts, sachant que le total des moteurs en parfait état de marche est de 178.
Le nombre de moteurs défectueux, c'est-à-dire ayant au moins un des deux défauts, est de :
\[ \text{Total des moteurs} - \text{Moteurs en parfait état de marche} = 200 - 178 = 22 \]
Le nombre de moteurs ayant le défaut M est de 16, et le nombre de moteurs ayant le défaut E est de 12.
Calculons le nombre de moteurs ayant à la fois les deux défauts (intersection de M et E) en utilisant la formule suivante :
\[ \text{Moteurs défectueux} = \text{Moteurs avec défaut M} + \text{Moteurs avec défaut E} - \text{Moteurs avec les deux défauts} \]
\[ 22 = 16 + 12 - \text{Moteurs avec les deux défauts} \]
Résolvons cette équation pour trouver les moteurs ayant les deux défauts :
\[ \text{Moteurs avec les deux défauts} = 16 + 12 - 22 = 6 \]
Ainsi, 6 moteurs ont à la fois les défauts M et E.
Nous pouvons maintenant compléter le tableau :
| | Avec le défaut E | Sans le défaut E | Total |
|-------------------------|------------------|-----------------|------|
| **Avec le défaut M** | 6 | 10 | 16 |
| **Sans le défaut M** | 6 | 178 | 184 |
| **Total** | 12 | 188 | 200 |
2. Arbre des probabilités d'intersection des événements
Pour l'arbre des probabilités, nous allons représenter les probabilités de choix d'un moteur avec ou sans défaut M, et ensuite les probabilités de choix d'un moteur avec ou sans défaut E dans chaque cas.
- Premier événement : Choix d'un moteur ayant le défaut M ou sans défaut M :
- \( P(M) = \frac{16}{200} = 0.08 \)
- \( P(M^c) = \frac{184}{200} = 0.92 \)
- Deuxième événement : Choix d'un moteur ayant le défaut E ou sans défaut E :
- Si le moteur a le défaut M, alors :
- \( P(E | M) = \frac{6}{16} = 0.375 \)
- \( P(E^c | M) = \frac{10}{16} = 0.625 \)
- Si le moteur n'a pas le défaut M, alors :
- \( P(E | M^c) = \frac{6}{184} \approx 0.0326 \)
- \( P(E^c | M^c) = \frac{178}{184} \approx 0.9674 \).
Voici l'arbre des probabilités basé sur les calculs ci-dessus :
```
M (0.08)
/ \
E (0.375) E^c (0.625)
| |
0.03 0.05
M^c (0.92)
/ \
E (0.0326) E^c (0.9674)
| |
0.0296 0.8908
```
Les valeurs après les sous-événements représentent les probabilités associées.
3. Calculer les probabilités demandées
b) Calculer la probabilité que le moteur présente le défaut M :
- La probabilité que le moteur présente le défaut M est simplement le nombre de moteurs avec le défaut M divisé par le nombre total de moteurs :
\( P(M) = \frac{16}{200} = 0.08 \)
c) Calculer la probabilité que le moteur présente à la fois les deux défauts :
- La probabilité qu'un moteur présente à la fois les deux défauts est le nombre de moteurs avec les deux défauts divisé par le nombre total de moteurs :
\( P(M \cap E) = \frac{6}{200} = 0.03 \)