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Réponse : Bonjour, voici une réponse
Explications étape par étape :
1) Système d'équations 1
a) Pour montrer que le système admet une unique solution sans le résoudre, on peut utiliser la méthode de Cramer. Soit le système :
2x + 3y = 7
5x - y = 1
Le déterminant de la matrice des coefficients est :
| 2 3 |
| 5 -1 | = -17
Comme ce déterminant est non nul, le système admet une unique solution.
b) Pour résoudre le système, on peut utiliser la méthode de substitution ou d'élimination. En utilisant la méthode de substitution, on obtient :
2x + 3y = 7
5x - y = 1
Exprimons y en fonction de x à partir de la deuxième équation :
y = 5x - 1
Remplaçons dans la première équation :
2x + 3(5x - 1) = 7
2x + 15x - 3 = 7
17x = 10
x = 10/17
Remplaçons x dans l'expression de y :
y = 5(10/17) - 1 = 50/17 - 17/17 = 33/17
Donc la solution unique est (10/17, 33/17).
2) Système d'équations 2
Résolvons ce système par la méthode de votre choix. Par exemple, en utilisant la méthode de substitution :
3x + 2y = 11
x - y = 1
Exprimons y en fonction de x à partir de la deuxième équation :
y = x - 1
Remplaçons dans la première équation :
3x + 2(x - 1) = 11
3x + 2x - 2 = 11
5x = 13
x = 13/5
Remplaçons x dans l'expression de y :
y = 13/5 - 1 = 8/5
Donc la solution est (13/5, 8/5).
3) Système d'équations 3
a) Calculons le déterminant du système :
| 2 3 1 |
| 5 -1 0 | = -17
| 1 2 -1 |
Comme le déterminant est non nul, les deux droites qui contiennent le système sont sécantes.
b) Résolvons le système par la méthode de votre choix. Par exemple, en utilisant la méthode de substitution :
2x + 3y + z = 1
5x - y = 0
x + 2y - z = 0
Exprimons y en fonction de x à partir de la deuxième équation :
y = 5x
Remplaçons dans la troisième équation :
x + 2(5x) - z = 0
x + 10x - z = 0
11x = z
Remplaçons dans la première équation :
2x + 3(5x) + 11x = 1
2x + 15x + 11x = 1
28x = 1
x = 1/28
Remplaçons x dans l'expression de y :
y = 5(1/28) = 5/28
Remplaçons x dans l'équation 11x = z :
z = 11(1/28) = 11/28
Donc la solution est (1/28, 5/28, 11/28).
Bonne journée