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Bonjour,
[tex]a) \ g(x) = \frac{x^2}{x+2}[/tex]
Rappel de cours sur les dérivées à connaitre ❤ :
[tex]\boxed{(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}}[/tex]
Ici on a u = x² donc u' = 2x
v = x + 2 donc v' = 1
Application numérique :
[tex]g'(x) = \frac{2x(x+2)-x^2}{(x+2)^2}=\frac{2x^2-x^2+4x}{(x+2)^2} =\frac{x^2+4x}{(x+2)^2} =\frac{x(x+4)}{(x+2)^2}[/tex]
b) On sait qu'un nombre élevé au carré est toujours ≥ 0
Or ici le dénominateur s'annule unique pour x = - 2
⇒ Donc si x ≠ - 2 alors (x + 2)² > 0 donc g'(x) dépend du signe du numérateur soit ici x(x+4)
c) Pour faire le tableau de variations, on étudie le signe de la dérivée
⇒ On pose x(x + 4) = 0 ⇔ x = 0 ou x = - 4
Tableau de signes et de variations
x |-∞ -4 -2 0 +∞
(x+2)² | + + 0 + +
x(x+4) | + 0 - - 0 +
g'(x) | + 0 - ║ - 0 +
g(x) | ↑ ↓ ↓ ↑