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II. La méthode de Monte-Carlo
Les méthodes de Monte-Carlo sont des techniques permettant d'obtenir une approximation d'une quantité à
l'aide de techniques probabilistes (tirages aléatoires).
Elles ont déjà été utilisées lors des TP en Seconde : par exemple, pour obtenir l'approximation de la
probabilité d'un événement, on modélise l'expérience aléatoire, on répète cette expérience un grand nombre
de fois en comptant le nombre d'expériences où l'événement se réalise. La fréquence que l'événement se
réalise sera alors une estimation de la probabilité cherchée (d'après la loi des grands nombres).
Principe de la méthode de Monte-Carlo pour le calcul d'aire.
Soit A l'aire du domaine D que l'on veut déterminer (par
exemple l'aire d'un lac)
On inclut ce domaine dans une figure dont on sait calculer
l'aire Aconnue généralement cette figure est un rectangle.
On considère un point aléatoire dans ce rectangle.
La probabilité p que ce point soit dans le domaine D est
A
Aconnue
Ainsi, si on trouve une approximation f de p, on obtiendra une approximation de A=px Aconnue
Dans le cas où Aconnue 1 (aire d'une carré de côté 1 par exemple), f sera une approximation de A.
Exercice
Soit f une fonction continue et positive définie sur [0; 1] dont la courbe
est contenue dans un carré ABCD de côté 1.
1. Soit M(x; y) un point quelconque d'abscisse x € [0; 1]. Comment
savoir si ce point est en dessous ou au-dessus de la courbe de
f?
2. La fonction python random du module random renvoie un nombre
aléatoire de l'intervalle [0; 1[. Ainsi la ligne d'instruction
xy-random().random( permet de simuler les coordonnées d'un point
aléatoire dans le carré ABCD.
a. Écrire la fonction python nommée simulation prenant en argument une fonction f, simule un point
aléatoire appartenant au carré ABCD et renvoie True
si ce point est sous la courbe de fou renvoie
False sinon.
b. Écrire la fonction python nommée simulations prenant en argument une fonction f et un entier
naturel n et renvoyant la fréquence du nombre
de points sur n points aléatoires du carré ABCD
situés
sous la courbef (on utilisera la fonction simulation
).
5. Applications
a. Donner une approximation de fx2dx lorsque n = 100. Comparer
votre résultat avec l'exercice précédent.
b. L'aire d'un disque de rayon R est R2. Dans le cas où R = 1, cette
aire est égale à . Utiliser la méthode de Monte-Carlo pour obtenir
une approximation de comme aire de la courbe x + √1-x² sur
4
[0; 1] et en déduire une approximation de .

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