Énoncé 2
Soigner le paludisme
Partie A
On effectue à l'instant t=0 une injection de 24 mL
de médicament.
On estime que 20% du médicament présent
dans le sang est éliminé par minute.
Pour tout entier naturel n, on note u la quantité
de médicament, en mL, restant dans le sang au bout
de n minutes.
Ainsi u₁ = 10.
a. Quelle est la nature de la suite (u)?
b. Pour tout entier naturel n, donner l'expression
de u en fonction de n.
c. À l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre
de minutes, au bout desquelles la quantité
de médicament restant dans le sang sera inférieure
à 5 % de la quantité initiale.
Partie B
Le traitement nécessite qu'il y ait au moins 5%
de la quantité initiale dans le sang pendant toute
la durée du traitement. Grâce à une perfusion,
on injecte donc 0,5 mL de médicament chaque
minute.
Pour tout entier naturel n, on note toujours
u la quantité de médicament, en mL, restant
dans le sang à la minute n.
a. Quelle est la relation entre u+1 et u?
b. Pour tout entier naturel n, on pose : v=u-2,5
Montrer que que la suite (v) est géométrique
de raison 0,8.
c. En déduire l'expression de v. en fonction de n.
d. En déduire l'expression de u. en fonction de n.