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Bonjour noraya200711,
Pour résoudre cet exercice, voici les étapes à suivre :
a) Pour trouver une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à $d 1$ et passant par le point $A(2;1)$, nous devons d'abord déterminer le vecteur directeur de la droite $d 1$, qui est $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ (coefficients de $x$ et $y$ de l'équation cartésienne de $d 1$).
Ensuite, le vecteur directeur de la perpendiculaire sera le vecteur normal à $\vec{u}$, donc $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ (on a échangé les composantes et changé le signe de l'ordonnée).
L'équation de la droite perpendiculaire $d 2$ passant par le point $A(2;1)$ sera de la forme $y - y_0 = m(x - x_0)$, avec $m = \frac{1}{1} = 1$ (pente de la droite perpendiculaire) et les coordonnées de $A(2;1)$ comme point $x_0$ et $y_0$. Cela donne :
$y - 1 = x - 2 \iff x - y - 1 = 0$
Ainsi, une équation cartésienne de la perpendiculaire $d 2$ est : $x - y - 1 = 0$.
b) Pour trouver le point d'intersection des droites $d 1$ et $d 2$, nous devons résoudre le système formé par les deux équations :
1) $x+y-1=0$ (droite $d 1$)
2) $x - y - 1 = 0$ (droite $d 2$)
En résolvant ce système, nous trouvons $x = 0$ et $y = 1$. Ainsi, les coordonnées du point d'intersection des droites $d 1$ et $d 2$ sont $I(0,1)$.
J'espère que cela vous aide à résoudre l'exercice. N'hésitez pas à me poser d'autres questions si quelque chose n'est pas clair. Bonne soirée !