Un restaurateur veut mettre à sa carte un « café gourmand » qui associe café et dessert,
Son serveur a noté que sur 50
de ses clients, 20
ne prenaient pas de dessert. Par contre, 80% des clients prennent un café et 10% ne prennent ni café ni dessert.
On note les événements suivants :
D: « le client prend un dessert »,
C: « le client prend un café ».
1. Regrouper les relevés du serveur dans un tableau croisé d'effectifs sur le modèle ci-dessous et le compléter.
2. Calculer la probabilité pour qu'un client, pris au hasard, prenne un café et un dessert.
3. Calculer la probabilité pour qu'un client ayant pris un dessert prenne un café.

Pour organiser les données, nous devons créer un tableau croisé d'effectifs pour les événements "prend un café" et "prend un dessert". Pour cela, il est utile de savoir combien de clients prennent un café, un dessert, ni l'un ni l'autre, ou les deux.

Les données initiales:

- 50 clients.

- 20 clients ne prennent pas de dessert.

- 80% des clients prennent un café.

- 10% des clients ne prennent ni café ni dessert.

**Calcul des effectifs**

1. **Clients qui prennent un café**:

80% de 50 clients = \(0.80 \times 50 = 40\).

2. **Clients qui ne prennent ni café ni dessert**:

10% de 50 clients = \(0.10 \times 50 = 5\).

3. **Clients qui prennent au moins un dessert**:

Total des clients - Ceux qui ne prennent pas de dessert = \(50 - 20 = 30\).

4. **Clients qui prennent un café mais pas de dessert**:

Total des clients prenant un café - Ceux qui prennent café et dessert = \(40 - (50 - 20 - 5) = 15\).

5. **Clients qui prennent un dessert mais pas de café**:

Total des clients prenant un dessert - Ceux qui prennent café et dessert = \(30 - (25) = 5\).

**Complétons le tableau croisé d'effectifs**

|---------------|---------|----------------|-------|

| **Café** | 25 | 15 | 40 |

| **Pas de café** | 5 | 5 | 10 |

| **Total** | 30 | 20 | 50 |

### 2. Probabilité de prendre un café et un dessert

Pour trouver la probabilité qu'un client pris au hasard prenne un café et un dessert, nous utilisons le tableau ci-dessus:

La probabilité d'avoir un café et un dessert est le rapport entre le nombre de clients qui prennent un café et un dessert sur le total des clients.

\[ P(C \cap D) = \frac{25}{50} = \frac{1}{2} = 0.5 \]

### 3. Probabilité de prendre un café étant donné qu'on a pris un dessert

Pour calculer cette probabilité, on considère le nombre total de clients qui prennent un dessert (30) et on voit combien parmi eux prennent aussi un café (25).

\[ P(C \mid D) = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \approx 0.8333 \]

En résumé:

1. **Tableau croisé d'effectifs** a été complété.

2. **Probabilité de prendre un café et un dessert** est 0.5.

3. **Probabilité de prendre un café si on a pris un dessert** est environ 0.8333 ou 83.33%.