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Réponse :
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser un arbre de probabilité. Nous allons considérer les événements suivants :
E1 : la personne a été vaccinée en 2010
E2 : la personne n'a pas été vaccinée en 2010
E3 : la personne a été vaccinée en 2011
E4 : la personne n'a pas été vaccinée en 2011
Nous savons que 75 % des personnes ont été vaccinées en 2010, ce qui signifie que la probabilité de E1 est de 0,75. De même, nous savons que 80 % des personnes ont été vaccinées en 2011, ce qui signifie que la probabilité de E3 est de 0,80.
Nous voulons déterminer la probabilité que la personne ait été vaccinée une fois et une seule entre 2010 et 2011. Cela signifie que la personne a été vaccinée en 2010 ou en 2011, mais pas les deux fois.
Nous allons considérer les cas suivants :
Cas 1 : la personne a été vaccinée en 2010 et non en 2011 (E1 et E4)
Cas 2 : la personne n'a pas été vaccinée en 2010 et a été vaccinée en 2011 (E2 et E3)
La probabilité de Cas 1 est égale à la probabilité de E1 (0,75) multipliée par la probabilité de E4 (0,25), car la personne n'a pas été vaccinée en 2011. La probabilité de Cas 1 est donc de 0,75 x 0,25 = 0,1875.
La probabilité de Cas 2 est égale à la probabilité de E2 (0,25) multipliée par la probabilité de E3 (0,80), car la personne a été vaccinée en 2011. La probabilité de Cas 2 est donc de 0,25 x 0,80 = 0,20.
La probabilité que la personne ait été vaccinée une fois et une seule entre 2010 et 2011 est donc égale à la somme des probabilités de Cas 1 et Cas 2, soit 0,1875 + 0,20 = 0,3875.
En résumé, la probabilité que la personne ait été vaccinée une fois et une seule entre 2010 et 2011 est de 0,3875.