1. On appelle (Ta) la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse a.
On sait que (T): y= f’(a)(x-a) + f(a)
Calculons f’(a) avec f(a)=2/(a^2+1).
2/(a^2+1)= 2* ((1)/(a^2+1))
Avec A = a^2+1 => A’ = 2a
f(a) = 2* ((1)/(a^2+1)) = 2*((1)/A)
Donc f’(a) = 2*(-1/A^2)*A’ =2* (-2a)/((a^2+1)^2) = -4a/((a^2+1)^2
Donc
(T): y= (-4a/((a^2+1)^2)(x-a) + 2/(a^2+1)
<=> (T): y= (-4a/((a^2+1)^2)(x) + (4a/((a^2+1)^2) *a + (2a^2+2)/((a^2+1)^2)
<=> (T): y= (-4a/((a^2+1)^2)(x) + (4a^2/((a^2+1)^2)+ (2a^2+2)/((a^2+1)^2)
<=> (T): y= (-4a/((a^2+1)^2)(x) + (6a^2+2)/((a^2+1)^2)
M(0;2) ∈ (Ta) <=> 2 = (-4a/((a^2+1)^2)(0) + (6a^2+2)/((a^2+1)^2) <=> 2 = (6a^2+2)/((a^2+1)^2) <=> 0 = (6a^2+2)/((a^2+1)^2) (-2(a^2+1)^2)/(a^2+1)^2 <=> 0 = (6a^2+2)/((a^2+1)^2)- (2(a^2+1)^2)/(a^2+1)^2 <=> <=> 0 = (6a^2+2)/((a^2+1)^2)- (2a^4+ 4a^2 +2))/(a^2+1)^2 <=> 0 = (6a^2+2- 2a^4 -4a^2 - 2)/((a^2+1)^2) <=> 0 = (6a^2+2- 2a^4 -4a^2 - 2) <=> 0 = (- 2a^4 +2a^2) <=> 0 = - a^4 +a^2.
Résolvons cette équation.
Posons A = a^2, alors - a^4 +a^2= 0 <=> -A^2 + A = 0
Δ= 1 donc les racines sont A1= 0 ou A2= -2/-2 = 1
Donc a^2 = 0 ou a^2= 1
Donc a= 0 ou a = 1
Quand a = 0 ,
(To): y= 2
Quand a = 1,
(T1): y= -x+2
