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Réponse :
79 Soit f la fonction définie par f(x) = (x+2)/eˣ
1. Justifier que f est définie sur R.
on a x + 2 est définie sur R et eˣ > 0 ∀x ∈ R donc f est définie sur R
2. a. Calculer f'(x), puis vérifier que :
f '(x) = (-x-1)/eˣ
f est le quotient de deux fonctions dérivables sur R donc f est dérivable sur R et sa dérivée f ' est : f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u(x) = x + 2 ⇒ u'(x) = 1
v(x) = eˣ ⇒ v'(x) = eˣ
f '(x) = [1 * eˣ - (x + 2)eˣ]/(eˣ)²
= (1 - x - 2)eˣ/e²ˣ
= (- x - 1)/eˣ
b. Étudier le signe de f'(x) sur R.
f '(x) = (- x - 1)/eˣ or eˣ > 0
donc le signe de f '(x) est du signe de - x - 1
- x - 1 ≥ 0 ⇔ - x ≥ 1 ⇔ x ≤ - 1 ⇒ f '(x) ≥ 0 sur ]- ∞ ; - 1]
et f '(x) ≤ 0 sur [- 1 ; + ∞[
c. Dresser le tableau de variations de f sur R.
x - ∞ - 1 + ∞
f '(x) + 0 -
f(x) - ∞→→→→→→→→→→→→ e →→→→→→→→→→→ 0
croissante décroissante
3. On note & la courbe représentative de la fonction f.
a. Justifier que la tangente à la courbe & au point
d'abscisse -1 est horizontale.
f '(- 1) = (- (- 1) - 1)/e⁻¹
= (1 - 1)/e⁻¹
= 0
Donc la tangente à C au point d'abscisse - 1 est bien horizontal
b. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe
Cau point d'abscisse 0.
f(0) = (0 + 2)/e⁰ = 2
f '(0) = (- 0 - 1)/e⁰ = - 1
y = f(0) + f '(0)x
= 2 - x
donc l'équation de la tangente à C au point d'abscisse 0 est :
y = - x + 2
Explications étape par étape :