Réponse :
Explications étape par étape :
### Étape 1 : Utiliser un logiciel de géométrie dynamique
**1a.** Construire la figure ci-contre et placer les points \( A \) et \( B \) comme indiqué.
- Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique (comme GeoGebra).
- Placer deux points \( A \) et \( B \) sur le plan.
**1b.** Tracer la droite \( (AB) \) et la droite \( (d) \) perpendiculaire à \( (AB) \) passant par \( A \).
- Tracer la droite \( (AB) \) en utilisant l'outil "droite".
- Tracer la droite \( (d) \) perpendiculaire à \( (AB) \) passant par \( A \) en utilisant l'outil "perpendiculaire".
**1c.** Construire en vert l'image de la figure bleue par la symétrie d'axe \( (AB) \).
- Sélectionner la figure bleue.
- Appliquer la symétrie d'axe \( (AB) \) pour obtenir la figure verte.
**1d.** Construire en orange l'image de la figure verte par la symétrie d'axe \( (d) \).
- Sélectionner la figure verte.
- Appliquer la symétrie d'axe \( (d) \) pour obtenir la figure orange.
### Étape 2 : Identifier la transformation
**2a.** Quelle transformation permet de passer directement de la figure bleue à la figure orange ? Préciser les éléments caractéristiques.
- La transformation qui permet de passer directement de la figure bleue à la figure orange est une rotation.
- La rotation est de 180 degrés autour du point d'intersection des axes des deux symétries.
**2b.** Compléter la conjecture : La composée de deux symétries axiales dont les axes sont sécants est une rotation de 180 degrés autour du point d'intersection des axes.
### Étape 3 : Symétrie centrale
**3a.** Construire en vert l'image de la figure bleue par la symétrie de centre \( A \).
- Sélectionner la figure bleue.
- Appliquer la symétrie centrale de centre \( A \) pour obtenir la figure verte.
**3b.** Construire en orange l'image de la figure verte par la symétrie de centre \( B \).
- Sélectionner la figure verte.
- Appliquer la symétrie centrale de centre \( B \) pour obtenir la figure orange.
### Étape 4 : Identifier la transformation et énoncer une conjecture
**4a.** Quelle transformation permet de passer directement de la figure bleue à la figure orange ?
- La transformation qui permet de passer directement de la figure bleue à la figure orange est une translation.
- La translation a pour vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
**4b.** Énoncer une conjecture :
- La composée de deux symétries centrales de centres \( A \) et \( B \) est une translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
### Étape 5 : Conjectures avec deux symétries axiales
**Symétries axiales d'axes parallèles** :
- La composée de deux symétries axiales d'axes parallèles est une translation.
- La direction de la translation est perpendiculaire aux axes des symétries et la distance de translation est deux fois la distance entre les axes.
**Symétries axiales d'axes sécants** :
- La composée de deux symétries axiales d'axes sécants est une rotation.
- Le centre de la rotation est le point d'intersection des axes et l'angle de rotation est deux fois l'angle formé par les deux axes.
Ces conjectures peuvent être confirmées en utilisant un logiciel de géométrie dynamique pour visualiser les transformations et leurs effets.
