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Explications étape par étape :
Pour résoudre ce problème, nous devons trouver un nombre entre 40 et 50 qui, lorsqu'il est divisé par 5 et 9, laisse un reste de 2 dans les deux cas. En d'autres termes, nous cherchons un nombre \( n \) tel que :
1. \( n \equiv 2 \pmod{5} \)
2. \( n \equiv 2 \pmod{9} \)
Nous allons d'abord lister les nombres entre 40 et 50 et vérifier lesquels répondent à ces conditions.
1. Lister les nombres entre 40 et 50 :
\[ 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49 \]
2. Vérifier chaque nombre pour \( n \equiv 2 \pmod{5} \) :
\[ 41 \mod 5 = 1 \]
\[ 42 \mod 5 = 2 \]
\[ 43 \mod 5 = 3 \]
\[ 44 \mod 5 = 4 \]
\[ 45 \mod 5 = 0 \]
\[ 46 \mod 5 = 1 \]
\[ 47 \mod 5 = 2 \]
\[ 48 \mod 5 = 3 \]
\[ 49 \mod 5 = 4 \]
Les nombres qui satisfont \( n \equiv 2 \pmod{5} \) sont 42 et 47.
3. Vérifier ces nombres pour \( n \equiv 2 \pmod{9} \) :
\[ 42 \mod 9 = 6 \]
\[ 47 \mod 9 = 2 \]
Le nombre 47 satisfait \( n \equiv 2 \pmod{5} \) et \( n \equiv 2 \pmod{9} \).
Donc, le nombre de personnes que la mère de Juliette a invité est **47**.