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Réponse :
Il faut montrer que la relation est réflexive, symétrique et transitive.
On a xRx <=> [tex]x^{2}[/tex]-[tex]x^{2}[/tex]=x-x ; la relation est réflexive
On a [tex]x^{2}[/tex]-[tex]y^{2}[/tex]=x-y donc [tex]y^{2}[/tex]-[tex]x^{2}[/tex]=y-x
<=> xRy=>yRx ; la relation est symétrique
On a xRy <=> [tex]x^{2} -y^{2}[/tex]=x-y
et yRz <=> [tex]y^{2}-z^{2}[/tex]=y-z
donc xRz<=> [tex]x^{2} -z^{2}=x-z[/tex] ; la relation est transitive
La relation est réflexive, symétrique et transitive, c'est donc une relation d'équivalence.
Bonjour,
Réponse :
Pour montrer que [tex]R[/tex] définie par [tex]x \sim y \iff x^2 -y^2 = x - y[/tex] est une relation d'équivalence sur [tex]\mathbb{R}[/tex], il faut démontrer qu'elle est réflexive, symétrique et transitive.
Réflexivité
▪ Une relation [tex]R[/tex] est réflexive si [tex]x \sim x[/tex] pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
Pour [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] :
[tex]x^2 - x^2 = x - x\\\\0 = 0[/tex]
Ce qui est vrai. Donc, [tex]x \sim x[/tex].
→ Donc [tex]R[/tex] est réflexive.
Symétrie
▪ Une relation [tex]R[/tex] est symétrique si [tex]x \sim y[/tex] implique [tex]y \sim x[/tex].
Supposons [tex]x \sim y[/tex], c'est-à-dire :
[tex]x^2 - y^2 = x - y[/tex]
On doit montrer que [tex]y \sim x[/tex], c'est-à-dire :
[tex]y^2 - x^2 = y - x[/tex]
Remarquons que :
[tex]x^2 - y^2 = x - y\\\\ -(y^2 - x^2) = -(y - x)\\\\y^2 - x^2 = y - x[/tex]
Donc, [tex]y \sim x[/tex].
→ Donc, [tex]R[/tex] est symétrique.
Transitivité
▪ Une relation [tex]R[/tex] est transitive si [tex]x \sim y[/tex] et [tex]y \sim z[/tex] impliquent [tex]x \sim z[/tex].
Supposons [tex]x \sim y[/tex] et [tex]y \sim z[/tex]. Cela signifie :
[tex]x^2 - y^2 = x - y\\\\y^2 - z^2 = y - z[/tex]
On veut montrer que [tex]x \sim z[/tex], c'est-à-dire :
[tex]x^2 - z^2 = x - y[/tex]
Ajoutons les deux équations :
[tex](x^2 - y^2) + (y^2 - z^2) = (x - y) + (y - z)\\\\x^2 - z^2 = x - z[/tex]
Donc, [tex]x \sim z[/tex].
→ Donc, [tex]R[/tex] est transitive.
Conclusion :
Puisque [tex]R[/tex] est réflexive, symétrique et transitive, [tex]R[/tex] est une relation d'équivalence sur [tex]\mathbb{R}[/tex].