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Réponse : Un nombre réel désigne un nombre dont la représentation décimale contient un nombre fini ou infini de chiffres après la virgule. Garde en tête qu'il ne s'agit pas forcément d'un nombre décimal, qui n'a qu'un nombre fini de chiffres après la virgule. Les nombres réels peuvent être positifs ou négatifs.
Explications étape par étape :
Les nombres réels constituent une partie fondamentale des mathématiques, couvrant une vaste gamme de valeurs utilisées pour représenter des grandeurs dans divers contextes. Voici ce qu'il faut savoir sur les nombres réels :
Définition : Les nombres réels comprennent tous les nombres rationnels et irrationnels. Les nombres rationnels peuvent être exprimés sous forme de fractions
b
a
où
a et
b sont des entiers et
b n'est pas égal à zéro. Les nombres irrationnels ne peuvent pas être exprimés comme des fractions simples et ont une expansion décimale infinie et non périodique.
Ensemble des nombres réels : L'ensemble des nombres réels est noté
R. Il s'étend de moins l'infini
−
∞
−∞ à plus l'infini
+
∞
+∞. Cela inclut tous les nombres entiers, rationnels, irrationnels et décimaux.
Représentation graphique : Les nombres réels peuvent être représentés sur une droite numérique, où chaque point correspond à un nombre réel. Les nombres positifs sont situés à droite de zéro, et les nombres négatifs sont situés à gauche de zéro.
Opérations arithmétiques : Les opérations arithmétiques telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division s'appliquent aux nombres réels de la même manière que pour les nombres entiers. Les règles de priorité des opérations s'appliquent également.
Propriétés : Les nombres réels obéissent à diverses propriétés, telles que la commutativité (par exemple,
+
=
+
a+b=b+a), l'associativité (par exemple,
(
+
)
+
=
+
(
+
)
(a+b)+c=a+(b+c)), et la distributivité (par exemple,
×
(
+
)
=
×
+
×
a×(b+c)=a×b+a×c).
Comparaison des nombres : Les nombres réels peuvent être comparés à l'aide des symboles de comparaison tels que
<
< (inférieur à),
>
> (supérieur à),
≤
≤ (inférieur ou égal à), et
≥
≥ (supérieur ou égal à).
Nombres spéciaux : Les nombres réels comprennent des nombres spéciaux tels que zéro (0), un (1), les nombres premiers, les nombres carrés, les nombres cubiques, les nombres négatifs, les nombres décimaux périodiques, etc.
Théorèmes fondamentaux : Les nombres réels sont associés à des théorèmes importants tels que le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème de Bolzano-Weierstrass, le théorème de limite des suites, et bien d'autres.